Целые систематические числа

Для записи натуральных чисел применяются различные способы, среди которых выделяются две основные группы: непозиционные и позиционные системы счисления.

В настоящее время из непозиционных систем счисления некоторое значение сохранила только римская нумерация.

В позиционных системах счисления, в отличие от непозиционных, значения применяемых символов зависят от места, которое этот символ занимает в записи числа. Чаще всего применяются системы счисления с фиксированным основанием.

Определение. Систематической записью натурального числа по основанию ( -натуральное и большее 1) называют представление этого числа в виде суммы , где - числа, принимающие одно из значений ; , - целое неотрицательное. При этом, если числа обозначены специальными символами, то эти символы называются цифрами –ичной системы счисления и число записывается в виде .

Пример 7.

1) =2345=(2345)₁₀=2∙10³+3∙10²+4∙10+5.

2) =(1021)₃=1∙3³+0∙3²+2∙3+1=27+0+6+1=34.

Теорема 13.1. Всякое натуральное число может быть единственным образом представлено в виде систематической записи по любому основанию .

Если то цифры –ичной системы счисления обозначают обычно так же, как и в десятичной: 0, 1, …, . Если , то к первым десяти цифрам добавляют недостающие, обозначив их какими-либо значками.

Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления (деления с остатком) осуществляются по тем же алгоритмам, что и в десятичной системе счисления: столбиком. Требуется только составить соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для таблицы сложения и умножения имеют следующий вид:

+
	2

∙

Заметим, что в первой таблице можно исключить первую строку и первый столбец, а во второй – первые две строки и первые два столбца.

Пример 8.

Для перевода натурального числа из - ичной системы счисления в - ичную достаточно научиться переводить числа из - ичной системы счисления в десятичную и обратно. Алгоритм перевода состоит из двух этапов.

Пусть . Для перевода этого числа в десятичную систему счисления достаточно записать его в виде ; записать цифры числа в десятичной системе счисления (т.е. числа ) и выполнить указанные действия.

1) Пусть . Переведём это число в - ичную систему счисления, т.е. представим его в виде .

Для этого необходимо найти коэффициенты , каждый из которых является цифрой от до .

Разделим на с остатком: , где - целые числа и . Тогда , ибо делится на . Далее делим с остатком на : . Тогда . Ясно, что . Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим неполное частное , которое будет нулевым. Таким образом, мы найдём все цифры записи числа в - ичной системе счисления.

Пример 9. 1) представить в десятичной системе счисления.

2) Перевести число в семеричную систему счисления.

Имеем:

2975=7∙425+0,

425=7∙60+5,

60=7∙8+4,

8=7∙1+1,

1=7∙0+1, Так как , то процесс закончен и 2975=