Решение задач на определение вероятности случайного события

Цель: научиться решать простейшие задачи на определение вероятности события, используя классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 68.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение вероятности события, используя классическое определение вероятности события;

- нахождение вероятности события с применением теорем сложения и умножения вероятностей.

Краткая теоретическая справка

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных событий.

Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет.

События бывают достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.

Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Случайное событие – это событие, которое при испытании может произойти или не произойти.

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.

События называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно их них и любые два из них несовместны.

Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления события при многократном повторении испытаний.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к общему числу равновозможных несовместных исходов n:

.

Вероятность любого события не меньше нуля, но не больше единицы:

. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

,

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Событие, противоположное событию А (ненаступление события А) обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: .

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается или .

События А, В, С, … называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий:

.

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

.

Практические задания для аудиторной работы

Решите задачи.

1. Из букв слова «вероятность» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что выбранная буква будет: А – согласной; В – гласной; С – буква «о».

2. Из урны, в которой находятся 10 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

3. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому или другому одновременно

4. В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 – черного. Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

2. В партии из 20 деталей находятся 6 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей три окажутся бракованными.

3. Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из них 20 комплектов мужской одежды, 6 – женской и 14 – детской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда окажется не женской.

4. В билете 3 раздела. Из 30 вопросов первого раздела студент знает 20 вопросов, из 20 вопросов второго – 15, из 20 вопросов третьего – 10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.

Вариант 2

1. Из урны, в которой находятся 7 белых и 5 черных шаров, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

2. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

4. В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.

Вариант 3

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наугад. Какова вероятность того, что набранная цифра правильная?

2. Среди 500 выставленных на продажу сотовых телефонов 200 являются подделками под ведущие бренды. Какова вероятность того, что 10 проданных наудачу телефона окажутся подделками.

3. Найти вероятность выпадения цифры 4 или 5 при бросании игральной кости.

4. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

Вариант 5

1. На странице книги имеется 2500 букв. Буква «а» встречается 190 раз. Какова вероятность того, что случайно выбранная буква не есть буква «а»?

2. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 без выигрышей. Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов два окажутся выигрышными.

3.В ящике находятся пуговицы различных цветов: белых – 50%; красных – 20%; зеленых – 20%; синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета.

4. Вероятность того, что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен, равна 0,8; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что он сдаст только первый экзамен.

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что изучает теория вероятности?

2. Что называют событием? Какие бывают события?

3. Что такое вероятность события?

4. Классическое определение вероятности события.

5. Что называют суммой (произведением) событий?

6. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.