Формула бинома Ньютона

Цель: научиться решать задачи с использованием формулы бинома Ньютона.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 67.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение разложения бинома Ньютона;

- вычисление значения степени с натуральным показателем;

- вычисление биномиальных коэффициентов.

Краткая теоретическая справка

Бином Ньютона - это формула, представляющая выражение при положительном целом n в виде многочлена:

.

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д.

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Сумма коэффициентов разложения равна .

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

.

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения: .

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна .

Для доказательства воспользуемся биномом: . Здесь чётные члены имеют знак « + » , а нечётные - « - ». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: , что и требовалось доказать.

Практические задания для аудиторной работы

1. Найти разложение следующего бинома Ньютона .

2. Пользуясь утверждением, что ,составьте треугольник Паскаля и с помощью него найдите и .

3.Найти номер такого члена разложения степени бинома , который не зависит от t.

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Напишите формулу Ньютона для степени бинома .

2. Вычислите с точностью до .

Вариант 2

1. Напишите формулу Ньютона для степени бинома .

2. Вычислите с точностью до .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что такое бином Ньютона?

2. Укажите особенности формулы Ньютона.

3. Запишите формулу для k-го члена разложения степени бинома.

4. Чему равна сумма всех биномиальных коэффициентов?

5. Как строится треугольник Паскаля и для чего он предназначен?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.