Многошаговые методы решения задачи Коши. Постановка задачи. В данном случае построение разностных расчетных схем (11) основано на том, что для определения yi+1 исполь-зуются результаты не одного

В данном случае построение разностных расчетных схем (11) основано на том, что для определения y_{i +1} исполь-зуются результаты не одного, а k предыдущих шагов y_{i – k +1}, y_{i – k +2},..., y_i в данном случае это k шаговый метод.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Исходное уравнение (4) для задачи Коши запишем в виде dY (x) = f (x, y) dx. Проинтегрируем обе части этого соотношения на отрезке [ x_i, x_{i +1}].

Из левой части получаем

(23)

где y_{i +1}, y_i – сеточные значения искомой функции.

Для вычисления интегралов правой части сначала построим интерполяционный многочлен P_{k –1}(x) степени (k – 1) для функции f (x, Y) на этом отрезке по значениям f (x_{i – k +1,} Y_{i – k +1}), f (x_{i – k +2}, Y_{i – k +2}),..., f (x_i, Y_i). Тогда

(24)

Приравнивая (23) и (24) получает формулу для определения неизвестного значения сеточной функции y_{i +1} в узле х_{i +1}

(25)

На основе (25) можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности при этом зависит от степени P_{k –1}(x), для построения которого используются значения сеточной функции y_i, y_{i –1},..., y_{i - k +1}, вычисленные на k предыдущих узлах.

На практике широко используются следующие многошаговые методы.

59. Методы предиктор – корректор для решения задачи Коши.

60. Методы предиктор – корректор для решения ДУ на основе метода Адамса.

На практике они называются методами прогноза и коррекции или (методами предиктор-корректор).

Суть их состоит в том, что на каждом шаге расчета вводятся 2 этапа, использующие многошаговые методы:

Суть их состоит в том, что на каждом шаге расчета вводятся 2 этапа, использующие многошаговые методы:

ü с помощью явного метода (предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное значение y_{i+ 1} = в новом узле;

ü используя неявный метод (корректор) в результате итераций находятся приближения,... Посредством корректора итерации продолжаются до тех пор, пока и не совпадут по желаемой точности и затем осуществляется переход к следующей точке сетки, т.е. по рассмотренному выше алгоритму определяется значение y_{i+ 2}. Одним из вариантов метода прогноза и коррекции является метод на основе метода Адамса четвертого порядка.

Вид разностных соотношений на этапе предиктора

(27)

на этапе корректора

(28)

В (27) и (28) используются не D f_i (конечные разности), а значения правой части (4), что удобнее для реализации на ЭВМ. Явная схема (27) используется на каждом шаге лишь один раз, а с помощью неявной схемы (28) строится итерационный процесс вычислений y_{i +1}, поскольку это значение входит в правую часть выражения f_{i+ 1} = f (x_{i +1}, y_{i +1}).

В данных формулах, как и в случае метода Адамса, при вычислении y_{i +1} необходимы значения сеточной функции в четырех предыдущих узлах: y_{i –3}, y_{i –2}, y_{i –1}, y_i. Расчет по этому методу может быть начат только со значения y ₄.

Необходимые при этом значения y ₁, y ₂ и y ₃ находятся по методу Рунге-Кутта, y ₀ задается начальным условием. Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений, а также на дифференциальных уравнений n -го порядка.