Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения задачи Коши (4) и (5) по технологии разностных методов введем последовательность точек x ₀, x ₁,..., x _n и шаги h _i = x _i+1 – x _i (i = 0,1,..., n –1). В каждом узле x _i вместо значений функции Y (x_i) вводятся числа y _i, как результат аппроксимации точного решения Y (x) на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы { x _i, y _i} называют сеточной функцией. Заменяя значение производной в уравнении (4) отношением конечных разностей осуществляем переход от дифференциальной задачи (4), (5) относительно функции Y (x) к разностной задаче относительно сеточной функции

(11)

y ₀ = Y ₀ (12)

Это разностное уравнение в общем виде, а конкретное выражение правой части для (11) зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (11).

Если в правой части уравнения (11) отсутствует y _i+1, т.е. значение y _i+1 вычисляется по k предыдущим значениям y_i, y _i–1,..., y _i–k+1,, то разностная схема называется явной. При этом имеет место k -шаговый метод: k = 1 – одноша-говый, k = 2 – двухшаговый и т.д., т.е. в одношаговых методах для вычисления y _i+1 используется лишь одно найденное значение на предыдущем шаге y _i, в многоша-говом – многие из них.

Если y _i+1 входит в правую часть (11), то это будут неявные методы, реализация которых носит только итерационный характер.

56. Одношаговые методы Эйлера: