Упражнения к главе 6

6.1. Найти критические точки для функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

6.2. Функция на концах отрезка принимает равные значения: . Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке ?

6.3. Функция обращается в нуль при и , но тем не менее при . Объясните кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

6.4. Пусть . Покажите, что уравнение имеет три действительных корня.

6.5. Для отрезка параболы , заключенного между точками и , найдите точку, касательная в которой параллельна хорде .

6.6. Проверьте выполнение условий теоремы Лагранжа и найдите соответственную точку для функции на отрезке .

6.7. Можно ли применить теорему Лагранжа к функции на отрезке ?

6.8. Найдите значение для следующих функций и отрезков:

1) ; ;	2) ; ;
3) ; ;	4) ; .

6.9. Докажите, что для функции и любого отрезка выполнима теорема Лагранжа и для соответствующего выполняется равенство .

6.10. Найдите промежутки, на которых функция возрастает:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

6.11. Найдите промежутки, на которых функция убывает:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

6.12. Найдите точки экстремума функций .

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

6.13. Найдите экстремумы функций :

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

6.14. Исследуйте на монотонность и экстремумы следующие функции:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

6.15. Исследуйте направление выпуклости графиков функций:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

6.16. Найдите точки перегиба для функций, указанных в упражнении 6.15

6.17. Исследуйте функции и постройте их графики:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) .

6.18. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:

1) ; ;	2) ; ;
3) ; ;	4) ; ;
5) ; ;	6) ; ;
7) ; ;	8) ; ;
9) ; ;	10) ; ;
11) ; ;	12) ; .

6.19. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса , найдите тот, площадь которого наибольшая.

6.20. Докажите, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

6.21. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

6.22. Данное положительное число разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

6.23. Число 48 записано в виде суммы трех положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Найдите слагаемые, если известно, что их произведение наибольшее.

6.24. Для перевозки овощей необходимо изготовить ящики без крышек в форме прямоугольного параллелепипеда. Объем каждого ящика , высота . Какими должны быть размеры основания ящика, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?

6.25. «Задача о консервной банке»:
Какими должны быть размеры цилиндрической консервной банки, чтобы:
а) при заданном объеме она имела наименьшую площадь поверхности?
б) при заданной площади поверхности она имела наибольшую вместимость?

6.26. Буровая вышка расположена в поле в от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в от упомянутой точки на шоссе (считаем шоссе прямой линией). Если курьер на велосипеде проезжает по полю , а по шоссе , то к какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время доехать до населенного пункта?

6.27.
Потенциальная энергия растянутой пружины выражается формулой , где
– постоянная, называемая жесткостью пружины, а - удлинение пружины. Две пружины расположены на прямой линии так, как показано на рисунке 61, где . Пружины растянули и соединили в точке . При каком расположении этой точки суммарная потенциальная энергия пружин будет наименьшей, если жёсткости этих пружин равны и ?

6.28. Если батарея с электродвижущей силой и внутренним сопротивлением замкнута проводником с сопротивлением , то мощность тока во внешней цепи выражается формулой: .При каком значении мощность будет наибольшей?

6.29. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит, ось которого направлена перпендикулярно плоскости круга и проходит через его центр, выражается формулой: , где - радиус круга, - расстояние от центра круга до магнита и - постоянная. При каком значении эта сила будет наибольшей?

6.30. Потенциал в точке электрического поля, образованного зарядом , равен , где - расстояние от точки до заряда. В точках и , удаленных друг от друга на , помещены заряды и одинакового знака. В какой точке отрезка потенциал суммарного электрического поля будет наименьшим?

6.31. Докажите, что при и выполняется: .

6.32. Докажите, что при справедливы неравенства:

1) ;

2) .

6.33. Докажите, что при и :

1) ;	2) ; при ;
3) ; при .

6.34. Докажите, что если и , то .

6.35. Докажите, что если и , то .

6.36. Запишите разложения биномов:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .

6.37. Сколько членов содержится в разложениях биномов:

1) ;

2) ;

3) ?

6.38. Найдите , если известно, что в разложении коэффициенты при и равны.

6.39. Найдите коэффициент при в разложении бинома , если .

6.40. Вычислите суммы:
1) ;
2) ;
3) .

6.41. Докажите,что .

6.42. Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

6.43. Если раскрыть все скобки в выражении и привести подобные члены, то получится некоторый многочлен. Найдите коэффициент при в этом многочлене, не раскрывая скобки.

6.44. Используя тождество (10) п. 70, докажите, что .

6.45. Найдите наибольшее значение суммы при .

6.46. Найдите сумму коэффициентов разложения .

6.47. В разложении сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна 32. Найдите член, содержащий .

6.48. Решите уравнения:

1) ;

2) .

6.49. Решите неравенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6.50. Получите разложение по формуле Маклорена для функций:

1) ;

2) ;

3) .

6.51. Тяжёлая нить (провод, канат, цепь) под влиянием собственного веса провисает по цепной линии, уравнение которой имеет вид: , где , - горизонтальное натяжение нити, - вес единицы длины. Докажите, что если мало по сравнению с , то , то есть нить приближенно провисает по параболе.

6.52. Используя формулу (7.1), (п. 72) вычислите с точностью до 0,0001 квадратные корни:

1) ;

2) ;

3) .

6.53. Докажите, что для извлечения корня -ой степени из положительного числа применима формула: .

6.54. С помощью формулы, полученной в упражнении 6.53, вычислите с точностью до 0,0001 значения корней:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6.55. Найдите с точностью до 0,01 корни уравнений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

(для уточнения промежутков уединения корней сделайте эскиз графика функции, стоящей в левой части уравнения).