Производные и доказательства неравенств

►Теорема 46. Если и непрерывна при , а при , то положительна при .

Доказательство: из условия следует, что функция возрастает при ; поэтому из условия следует, что , но , значит, при .

Примечание. Если и при , то при .

С помощью этих теорем можно доказывать различные неравенства.

Пример 119. Докажем, что при и выполняется: неравенство (обобщение неравенства Бернулли).

Решение: рассмотрим функцию ; ; ; при и имеем: , поэтому и функция – возрастает при , тогда из неравенства следует , то есть , значит, ; таким образом, при и .

Пример 120. Докажем, что при выполняется неравенство .

Решение: рассмотрим функцию , ; при . Поэтому функция убывает и из неравенства следует , то есть ; значит, при .

Для доказательства неравенств можно использовать не только первую производную, но и вторую. В примечании к п. 63 мы говорили о том, что если график функции является выпуклым вниз на отрезке , то он располагается ниже хорды, соединяющей концы дуги: , . Выберем на отрезке произвольную точку и найдем ординату соответствующей точки хорды. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки и : , тогда при получаем: .

Поэтому неравенство имеет вид: . (1)

Если положить , то получим: , .

Тогда неравенство (1) можно записать так:
, где . (2)

В частности, при имеем: . (3)

Таким образом, справедлива

►Теорема 47. Если на отрезке выполняется условие , то для любого числа имеем .

Аналогично доказывается, что если на выполняется условие , то . (4)

Пример 121. Докажем неравенство .

Решение: рассмотрим функцию ; . Можем воспользоваться неравенством (3): , что и требовалось доказать.

Пример 122. Докажите, что если и , то .

Решение: рассмотрим функцию при ;. при , значит, можно воспользоваться неравенством (4) при : , что и требовалось доказать.