Задачи на наибольшие и наименьшие значения

Многие задачи практического содержания сводятся к отысканию наибольшего или наименьшего значения функции на некотором множестве. Рассмотрим примеры.

Пример 116. Куском проволоки длиной м требуется оградить прямоугольный участок земли, одна сторона которого примыкает к стене дома, так, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей. Вычислить площадь полученного участка, если м.

Решение: обозначим одну из сторон участка через (рисунок 56). Тогда длина смежной стороны . В этом случае площадь участка равна: ,где . Поскольку функция непрерывна при всех действительных , ее можно рассмотреть на отрезке . Тогда задача отыскания наибольшего значения функции на отрезке решается с помощью алгоритма, приведенного в предыдущем пункте.

Итак, найдем критические точки этой функции: ; при . Так как принадлежит отрезку , найдем значение функции в трех точках: ; ; .

Наибольшего значения функция достигает при : .

В частности, при м кв. м.

Ответ: наибольшее значение площади участка получаем, если его сторона относится как 2:1; площадь участка при этом равна или .

Пример 117. Дан прямоугольный лист жести размерами 80см и 50см. Требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставленные кромки (рисунок 57).

Решение: обозначим длину стороны вырезаемого квадрата через см. Тогда размеры дна коробки такие: см и см и объём коробки равен: , где . Функция непрерывна при всех действительных , поэтому можно её рассматривать при . Найдем критические точки функции : ; при и . В промежутке находится лишь . Так как , а , то функция принимает наибольшее значение при : .

Ответ: наибольшую вместимость коробки получим, вырезая квадраты со стороной 10 см; наибольший объем равен .

Пример 118. Пусть материальная точка движется из точки в нижней полуплоскости в точку верхней полуплоскости так, что в нижней полуплоскости её скорость постоянна и равна , а в верхней её скорость . По какому пути должна двигаться точка, чтобы на весь путь затратить минимум времени (рисунок 58)?

Решение: Если , то искомый путь есть отрезок . Если же , то точка должна двигаться по ломаной , причем положение точки должно быть таким, чтобы на путь было затрачено наименьшее время.

Пусть отрезок точка проходит за время , а путь – за время . Построим точки и – проекции точек и на прямую , являющуюся линией раздела сред, и введем обозначения: ; ; ; . Тогда путь будет пройден за время , где .

Функция непрерывна при всех действительных , поэтому ее можно рассмотреть на отрезке и применить стандартный алгоритм с некоторым видоизменением.

Критические точки функции найдем из условия : , если . Но , а где и – углы, образованные отрезками и с перпендикуляром к прямой , проведенным в точке . Итак; . Для значения , при котором справедливо равенство (1), и , так как ; , а ,значит, в точке функция принимает наименьшее значение.

Из курса физики известно, что именно по закону (1) преломляется луч света при переходе из одной среды в другую (угол называется углом падения, а угол – углом преломления). Таким образом, луч света «выбирает» такой путь, при котором время движения будет наименьшим. В этом и состоит известный в физике принцип Ферма.