Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов

Используя производные высших порядков, можно получить еще один способ доказательства известной формулы, которую называют биномом Ньютона.

Рассмотрим , (1)
где – неизвестные коэффициенты. Для того, чтобы найти , подставим в (1) ; получим . Чтобы найти , продифференцируем (1), получим: (2);
пусть , тогда . Найдем , для этого продифференцируем (2): (3);
пусть , тогда . Остальные коэффициенты находим таким же образом. Если продифференцировать (1) раз, то получим: .

Пусть , тогда .

Числа называют биномиальными коэффициентами и обозначают . Таким образом, , поэтому, используя метод математической индукции, получим . (4)

Формулу (4) называют формулой бином Ньютона. Упростим формулу для . Итак, . (5)

Условимся считать, что , тогда и формулу (4) можно записать так: . (6)

Рассмотрим некоторые свойства биноминальных коэффициентов.

Положим в равенстве (6) , получим: . (7)

Итак, сумма биномиальных коэффициентов при заданном равна .

Положим , , получим . (8)

Отсюда следует, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Из формулы (5) получим: . (9)

Таким образом, биномиальные коэффициенты, равноудалённые от концов разложения, равны друг другу.

Рассмотрим . Итак, . (10)

Эта формула позволяет вычислять биноминальные коэффициенты , если известны коэффициенты . Вычисления удобно располагать в виде треугольника, где каждый элемент равен сумме элементов предыдущей строки, стоящих слева и справа от вычисляемого.

Его называют арифметическим треугольником или треугольником Паскаля.

Пример 123. Найдем разложение бинома .

Решение: воспользуемся формулой (4) при : .

Пример 124. Найдем разложение бинома .

Решение: воспользуемся формулой (4) при :

.

Пример 125. Вычислим сумму .

Решение: Рассмотрим функцию и её разложение по степеням : . Продифференцируем это равенство по : и положим , тогда получим . Итак, .

Ответ: .

Пример 126. Вычислим с точностью до .

Решение: по формуле бинома Ньютона имеем: . Но , а следующие слагаемые еще меньше. Поэтому все слагаемые, начиная с третьего, можно отбросить. Получаем: .

Ответ: .