Формулы Тейлора и Маклорена

Среди всех функций, которые нам приходилось исследовать, наиболее удобны многочлены: они определены при всех действительных , непрерывны, имеют производные всех порядков, которые также непрерывны. Поэтому более громоздкие или сложные для исследования функции выражают через степенные функции (многочлены).

►Теорема 48. (формула Тейлора). Если функция непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка включительно на отрезке , причем в каждой внутренней точке этого отрезка существует производная , то на этом отрезке представима в виде: , где .

Следствие. (формула Маклорена). При имеем , где .

Доказательство формулы Тейлора во многом повторяет рассуждения, которые были приведены при доказательстве формулы бинома Ньютона (п. 70). Строгое доказательство можно найти в учебниках по математическому анализу для университетов.

Покажем, как получить соответствующие формулы для некоторых элементарных функций.

Пример 127. Для функций и при выполнены условия теоремы 48, поэтому , где ; , где .

Действительно, с учетом того, что функция – нечётная, искомое разложение можно искать в виде: . (1)

Чтобы найти , продифференцируем (1) по : (2)

Положим , получим . Продифференцируем (2) еще раз: (3)

Сравнивая (1) и (3), получим систему соотношений для коэффициентов : ; ;…; .

Так как , последовательно находим: ; и так далее. Подставляя полученные значения для в формулу (1), имеем: .

По формуле (2) находим разложение для ;

Примечание. для функции справедливо разложение: , где .

Пример 128. Многочлен разложить по целым положительным степеням бинома .

Решение: ; ; ; при . Вычислим ; ; ; , тогда по формуле Тейлора получим: .

Итак, .