Примеры построения графиков функций

Пример 113. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1) .

2) , значит, – нечетная функция, и её график симметричен относительно начала координат.

3) Точки пересечения с осью : при ; ; .

4)
Промежутки знакопостоянства функции:
при ,
при .

5) Функция непрерывна при всех .

6) ; при и .

В соответствии с достаточными условиями функция возрастает при и при , и убывает при ;

– точка максимума, ;

– точка минимума, .

7)
; при ;

при график функции направлен выпуклостью вверх;

при график функции направлен выпуклостью вниз;

.

8) .

9)
Построим график функции (смотри рисунок 54).

Примечание. информацию, полученную в ходе исследования, удобно поместить в таблицу:

	–		+		+		–	-2	–		+
	+		+		–	-3	–		+		+
	–	–	–	–	–		+	+	+	+	+
Выво­ды	отрицате­льна возрастает выпукла вверх	пере­секает ось абс­цисс	положи­те­льна возрастает выпукла вверх	макси­мум	положи­тельна убывает выпукла вверх	точка пере­гиба	отрица­тельна убывает выпукла вниз	мини­мум	отрица­тельна возрастает выпукла вниз	пере­се­кает ось абс­цисс	положи­те­ль­на возрастает выпукла вниз

Используя условные обозначения, выводы можно записать так:

Выво­ды

Пере­гиб

Пример 114. Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1) .

2) , значит, – четная функция и её график симметричен относительно оси .

3) .

4)
Интервалы знакопостоянства найдем, используя метод интервалов:

при и при ;

при .

5) Функция непрерывна при ; точки и - точки разрыва II рода, не существует, не существует.

Прямые и – вертикальные асимптоты графика функции.

Найдем горизонтальную асимптоту: ; итак, прямая – горизонтальная асимптота.

6)
; при .

возрастает при и при ;

убывает при и при .

– точка максимума, .

7)
.

график функции направлен выпуклостью вниз при и при ;

график функции направлен выпуклостью вверх при .

8) .

9) Построим график функции , (смотри рисунок 55).