Приближенное решение уравнений методом итераций

Мы рассмотрели методы численного решения уравнения вида . Преобразуем его (с сохранением равносильности) к виду , где - дифференцируемая функция и при , где - промежуток, на котором уравнение имеет один корень; построим такой итерационный процесс: - произвольное число из отрезка , , ;… и вообще, . Докажем, что последовательность сходится к корню уравнения при любом выборе ; кроме того, если - точное значение корня () и - заданная степень точности, тогда процесс завершается, если ; при этом .

►Теорема 49. Последовательность , построенная по формуле для численного решения уравнения на отрезке ( - отрезок уединения корня), сходится к корню уравнения независимо от выбора начального приближения , если при .

Доказательство: пусть - значение корня уравнения , то есть ; покажем, что стремится к нулю при .

Рассмотрим ; функция дифференцируема на отрезке , а, значит, и на отрезке ; применим теорему Лагранжа: . На отрезке ; также применим теорему Лагранжа и продолжим процесс: ; итак, .

Поскольку , то ; поэтому, независимо от величины , выполняется равенство , значит, .

Пример 133. Решим методом итераций уравнение на отрезке с точностью до 0,01.

Решение: преобразуем данное уравнение к виду ; тогда ; ; при ; уточним промежуток уединения корня: , тогда . Выберем ; ; ; ; итак, , значит, ; .

Ответ: .

Примечание. чем ближе к нулю, тем быстрее сходится итерационный процесс.