Точки перегиба

Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рисунок 52). Такие точки называют точками перегиба.

Определение 91. Точка кривой называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной, проведенной к кривой в точке , на ее другую сторону.

Отметим, что в точке поменялось направление выпуклости графика функции .

Примеры точек перегиба мы уже видели на рисунке 45; действительно, точка – точка перегиба для графика функции ; аналогично точка – точка перегиба графика функции .

►Теорема 44. Если в точке вторая производная функции непрерывна и отлична от нуля, то точка не является точкой перегиба для графика функции .

Доказательство: пусть , то в силу непрерывности функции в точке неравенство выполняется в некоторой окрестности точки , тогда в силу теоремы 42 график функции обращен выпуклостью вниз. Поэтому вблизи точки этот график лежит выше касательной, проведенной в точке , и не имеет перегиба в этой точке.

Случай рассматривается аналогично.

Следствие 1 (второе достаточное условие экстремума). Если функция имеет вторую производную и в точке выполнены условия: и , то в этой точке функция имеет экстремум, а именно: максимум, если , и минимум, если .

Следствие 2 (необходимое условие перегиба). Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке , необходимо, чтобы либо , либо – не существовала при .

Вернемся к примеру 111: для функции вторая производная обращается в нуль при и ; значит, точки и могут быть точками перегиба графика этой функции.

Примечание.
Рассмотренное необходимое условие не является достаточным; действительно, для функции вторая производная обращается в нуль при , но график функции не имеет точек перегиба (смотри рисунок 53).

►Теорема 45. (достаточное условие перегиба). Если или – не существует, а при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка является точкой перегиба для графика функции .

Доказательство: пусть (для определенности) слева от , а справа от . Тогда слева от график функции направлен выпуклостью вверх и лежит ниже касательной, а справа от график направлен выпуклостью вниз и лежит выше касательной; значит, в точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то есть – является точкой перегиба, что и требовалось доказать.

Еще раз вернемся к примеру 111: докажем, что точки и являются точками перегиба графика функции . Для этого применим метод интервалов для выяснения промежутков знакопостоянства .

Мы видим, что при переходе через вторая производная меняет знак, значит в силу достаточного условия, – точка перегиба.

Аналогично для .