Направление выпуклости графика функции

Рассмотрим графики функций, изображенных на рисунках 48 и 49:

Определение 89. Если график функции , заданной на отрезке , расположен выше любой касательной, проведенной к нему на этом отрезке, и имеет с касательной лишь одну общую точку, то говорят, что график функции обращен на отрезке выпуклостью вниз (смотри рисунок 48).

Определение 90. Если график функции , заданной на отрезке , расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на этом отрезке, и имеет с касательной лишь одну общую точку, то говорят, что график функции обращен на отрезке выпуклостью вверх (смотри рисунок 49).

Сформулируем достаточное условие сохранения направления выпуклости графика функции .

►Теорема 43. Пусть на отрезке функция непрерывна и для всех (соответственно ), тогда график функции обращен на этом отрезке выпуклостью вниз, (соответственно - вверх) (смотри рисунок 50).

Доказательство: рассмотрим случай, когда при всех . Выберем произвольную точку и проведем касательную к графику в точке . Уравнение касательной имеет вид: .

Докажем, что при любом из , отличном от выполняется неравенство , то есть .

Пусть (случай рассматривается аналогично). Применим к отрезку теорему Лагранжа: , где , тогда .

Вторично применим теорему Лагранжа для функции на отрезке , получим , где . Но , , , значит, , что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы для случая аналогично.

Пример 111. Исследуем направление выпуклости графика функции .

Решение: ; при всех и лишь при , значит, график функции обращен выпуклостью вниз при всех .

Пример 112. Найдем участки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх.

Решение: для того чтобы график функции был направлен выпуклостью вверх, достаточно чтобы . Найдем ; при , значит, при график функции обращен выпуклостью вверх.

Примечание.
исследование направления выпуклости графика функции на отрезке можно связать не с касательной к графику функции на интервале , а с хордой, соединяющей концы дуги: , (смотри рисунок 51), построив соответствующие определения. При этом теорема 42 остается в силе и доказывается также с помощью теоремы Лагранжа.