Математические понятия

Это большая ошибка - думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно вобучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо н спонтанно. Когда взрослые пытаются навязать ребенку математические понятия преждевременно, он выучивает их только словесно; настоящее понимание приходит только с ееумственным ростом.

Это можно показать на простом опыте. Ребенка 5 или 6лет родители легко могут научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камешков в ряд, ребенок может правильно их сосчитать. Но если выложить камешки в виде более сложной фигуры или нагромоздить их кучей, он уже не может считать их с постоянной точностью. Хотя ребенок знает названия чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что число объектов в группе остается тем же, "сохраняется" независимо от того, как их растасовать или расположить.

С другой стороны, мы часто обнаруживаем, что ребенок 6,5 или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать восемь красных и восемь синих кусочков картона, он установит, располагая их попарно "один к одному", что число красных такое же, как и число синих, и что обе группы остаются равными по числу, независимо от формы, которая им придается.

Опыт с соотнесением "один к одному" полезен и для изучения того, как у детей развивается понятие числа. Выложим ряд из восьми красных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и noпросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы можем наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сделать точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на расстоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую стадию: они кладут один синий кусочек против каждого красного и получают правильное число. Но это вовсе не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем красные кусочки, сделав расстояние между ними более значительным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возрасте о 6,5до 7 лет дети достигают третьей стадии: теперь они знают, независимо от того, будем мы сдвигать или раздвигать ряд, число ку ков в нем останется тем же, что и в другом ряду.

В другом сходном опыте ребенку дают два сосуда одинаковой формы и размера и просят вынимать одновременно обеими руками и класть в другие два сосуда бусинки: синюю бусинку - в один сосуд правой, а красную бусинку - в другой сосуд левой рукой. Когда ребенок более или менее наполнит сосуды, его спрашивают, как их сравнить. Ребенок уверен, что в обоих сосудах одинаковое число бусинок. Тогда его просят высыпать синие бусы в сосуд другой формы и размера. И теперь снова соответственно возрасту выступают различия в понимании. Младшие дети думают, что число изменилось: если, наприм бусы наполняют сосуд до более высокого уровня, ребенок утвержда что теперь в нем больше бус, чем было в прежнем; если бусы наполняют сосуд до более низкого уровня, ребенок думает, что теперь их меньше. Но дети около 7 лет уже понимают, что перемещение не меняет число бус.

Короче говоря, дети должны уловить принцип сохранения количества, прежде чем они могут образовать понятие числа.

<…> Исследование того, как ребенок открывает пространственные отношения, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее, плодотворно, чем изучение его числовых понятия. Порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется обратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Эвклида (трактующей фигуры, углы и т.д.) развивается в XVII столетии

в так называемую проективную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы) и, наконец, в ХIХ столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в обшем качественном виде, например различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок начинает с последнею: его первые геометрические открытия являются топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает открытые и замкнутые фигуры: если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, но может также нарисовать маленький круг вне большого или соприкасающимся с ним Краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или выразить эвклидовы характеристики фигуры (число сторон, углы и т.д.).

<...> Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же длины, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за границы другого, то ребенок 6лет будет утверждать, что оби блока уже не равны по длине. Не ранее чем около 7лет ребенок начинает понимать: то, что блок выигрывает на одном конце, он теряет на другом. Нужно отметить - ребенок приходит к этому понятию о сохранении длины путем логического заключения (bia process oflogic).

Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает сохранение расстояния, особенно показательно. Между двумя маленькими игрушечными деревьями, стоящими на расстоянии Друг от друга, вы помещаете стену из блоков или куска толстого картона и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), находятся ли теперь деревья на том же расстоянии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить две части расстояния в одно общее расстояние. Дети 5 или 6 лет думают, что расстояние уменьшилось, указывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, заполненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояния.

Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следующее: дети не доходят до принципа сохранения длины или поверхности, пока где-то около 7 лет - не открывают обратимости, которая показывает, что

первоначальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т.д.). Таким образом открытие логических отношений является предварительным условиемобразования геометрических понятий, как это имеем место и образовании понятия о числе.

Это относится и к самому измерению, которое также является производным понятием. Интересно проследить, как дети спонтанно научаются измерять. Д-р Инельдер, одна из моих сотрудниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребенку башню из блоков, стоящую ни столе, и просили его построить другую башни такой же высоты на другом столе (который был ниже или выше первого) из блокоа разного размера. Конечно, мы снабжали ребенка всеми необходимыми измерительньми инструментами. Попытки ребенка решить эту задачу проходят поразительную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о различии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их верхушки единым взором. На несколько более высоком этаперазвития ребенок кладет ни верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться втом, что они на одним уровне. Несколько позже он замечает, что основание иго башни находится не на том уровне, на котором находится основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою башню рядом с образцом, на том же столе.Вспомнив, что правила игры запрещают передвигать его башню, он начинает оглядываться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум, - это его собственное тело. Он кладет одну руку на вершину своей башни, другую - на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети около б лет делают это весьма уверенно - так, как если бы их руки не могли изменить положения по пути! Вскоре они обнаруживают, что метод ненадежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои плечи с вершиной своей башня, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и направляется к модели - посмотреть, является ли расстояние тем же.

В конце концов ребенку приходит мысль о независимом игичер тельном инструмента. Его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он пододвигает ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается прав лами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического

рассуждения. Если мы назовем образцы первой башни А, второй – С, а переметаемой - В, то ребенок рассуждает так: В - С в В = А, поэтому А = С.

Позднее ребенок замещает третью башню стержнем, но сначала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей измерению. Затем он постигает идею использовать более длинный стержень, на котором отмечает пальцем высоту башен. Наконец - и это начало настоящего измерения - он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откладывая стержень по ее стороне известное число раз.

Последнее открытие содержит две новые логические операции. Первая — это процесс разделения, который позволяет ребенку понять, что целое состоит из некотором числя сложенных вместе частей. Вторая - это операция смещения или замещения, которая позволяет ему присоединить одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэтому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и замещения, подобно тому, как число есть синтез включения категорий и сернальною порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы труднее, чем перечислить уже разделенные элементы.

Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ребенку большой лист бумаги с карандашной точкой на нем и просим поставить точку в том же месте на другом листе такого же размера. Ребенок может воспользоваться палочками, полосками бумаги, веревочками, линейками или любым другим измерительным инструментом, в котором он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближением, не пользуясь никакими орудиями. ПОЗДНЕЕ ребенок пользуется измерительным инструментом, но измеряет только расстояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не дает ему правильного положения точки, Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пытаясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8 или 9 лет он открывает, что должен разделить измерение на две операции: горизонтальное расстояние от боковой стороны и вертикальное расстояние от основания или верхнего края. Сходный опыт с бусами в ящике показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения приблизительно в том же возрасте.<...>

"Вопросы психологии" 1966, № 4.C 121—126.