Возникновение понятия о числе

<...> Среди различных взглядов методистов на возникновение понятия о числе можно указать три характерных взгляда: одни, как, например, немецкий педагог В.А. Лай, утверждают, что числа возникают путем непосредственного восприятия, т. е. если ребенку дать несколько предметов (не более 10 - 12), расположенных правильными фигурами, то он может узнать число этих предметов сразу, не считая их и сообразно с этим сторонники непосредственного восприятия чисел первоначальное обучение арифметике обосновывают на так называемых числовых фигурах, т. е. на группе одинаковых значков (точек, кружков) или тел (соответствующих значкам), расположенных в определенном порядке.

Другие методисты, каковых большинство, говорят, что числовое понятие возникает только посредством, счета, т. е. названия чисел в порядке естественного ряда и в соответствии с рядом считаемых предметов; и сообразно с этим первоначальное обучение арифметике обосновывают на рядах, т. е. на счете предметов, расположенных вереницей, один за другим.

Третьи заявляют, что "понятие числа скорее содержится в отношении, что понятие числа психологически получается, как результат измерений"; и сообразно с этим "в начале обучения на первое место выдвигается изучение количественной изменяемости величин и их функциональной зависимости".

Нам думается, что в каждом из этих мнений есть доля истины. Совершенно верно, что понятие о числе может возникнуть путем непосредственного восприятия, если предметы, числом больше 3, расположены по группам, правильными фигурами, а не в ряд, вереницей. Точно так же справедливо, что представление числа может возникать путем счета, ибо если мы будем располагать предметы не по группам, а рядами (большими, чем в 3 - 4 предмета), то дети могут узнать число их только путем счета. Известный психолог Прейер в одном из своих исследований говорит, что "имея перед глазами группу предметов в числе трех, мы можем непосредственно узнать это число, не производя счета, и называет такой процесс условным выражением, бессознательный счет. Если же

число предметов, находящихся перед глазами, превосходит этот ограниченный предел и если предметы размещены в ряд (вереницей), то такое узнавание-схватывание числа их становится затруднительным и даже невозможным, вследствие чего мы ощущаем непреоборимую потребность прибегнуть к счету". Кроме того, при пересчитывании явлений, последовательных во времени, мы, как совершенно справедливо заявляет К.О. Лебедшщев, "часто не имеем другого способа, кроме обыкновенного счета: один, два, три и т.д., так, например, приходится считать при измерении длины какой-нибудь мерой, при наливании жидкости стаканами, ложками или каплями, при сосчитывании ударов пульса, качаний маятника и т.д.". Далее, как вещественные предметы, так и изображение этих предметов в действительности редко встречаются расположенными правильными группами (фигурами). А потому, при определении количества этих предметов, поневоле приходится обращаться к счету.

Счет необходим как один из процессов изучения чисел. Это видно из того, что его не отвергают и сторонники непосредственного восприятия чисел. Но неверно утверждение, что числовое понятие может возникнуть только путем счета, что видно из многочисленных опытов, произведенных Лаем.

Сказанное дает нам основание полагать, что оба метода и метод непосредственного восприятия чисел (метод числовых фигур или метод наглядных образов) и счетный метод должны целесообразно дополнять друг друга.

В пользу нашего мнения говорит и то психическое явление, что непосредственное восприятие числа опирается преимущественно на пространственные элементы, а счет — на временные элементы числа и действий над числами. Не можем не привести по этому вопросу следующих соображений профессора Меймана, с которыми мы вполне соглашаемся. "Так как для психолога не может подлежать сомнению, что в представлении о числе и в понятии числа содержатся как пространственные, так и временные элементы, то уже отсюда явствует, что оба метода неизбежно представляются односторонними и что при каждом из этих методов ребенок должен собственными садами присоединить нечто, чего самый метод ему не дает".

<...> Что касается взгляда на число как на результат измерения, то это тоже правильный взгляд, но он не исключает собою понятия о числе, как результате счета, а лишь расширяет и углубляет понятие числа. Но как более трудный вид для понимания детей, чем преды-

дущий (число как результат счета), он должен не предшествовать ему, а следовать за ним, да и по существу дела он предполагает собою уменье считать.

Числовые фигуры. Вопрос о числовых фигурах считается одним из спорных вопросов в методике арифметики. Больше всего этот вопрос, как и большинство методических вопросов, обсуждался в немецкой литературе - родине числовых фигур. Там о числовых фигурах существует обширная литература. Одни из методистов считают числовые фигуры полезными, другие - бесполезными. Среди тех, которые признают их полезными, одни придают им второстепенное значение, другие, наоборот, отводят им главное место.

<...> Какое назначение могут иметь числовые фигуры? Они могут иметь четыре различных назначения. Об одном из них - о способствовании возникновению у детей числовых представлений мы уже говориливыше. Теперь только скажем, что это самая главная польза от числовых фигур, ибо непосредственное восприятие чисел может быть осуществлено надлежащим образом только при помощи других наглядных пособий и приемов.

Второе по важности назначение числовых фигур - это облегчение производства действий над однозначными числами, причеммы не склонны придавать числовым фигурам в этом отношении столь большое значение, какое придают им их поклонники. Дело в том что результаты действии, например, сложения однозначных чисел, на числовых фигурах усваиваются исключительно при помощи зрительной памяти. Поэтому стоит только ребенку забыть числовую фигуру, и он забудет результат сложения.

Анадо научить ребенка умению отыскивать результаты действий без помощи числовых фигур так, чтобы он один мог добраться до этих результатов.

Поясним это на примере. Пусть ребенку дано сложить 4 и 3. Зная хорошо расположение числовой фигуры 7, он скоро назовет результат сложения 4 и 3. Но раз он забыл расположение числовой фигуры 7, то он остается беспомощным в отыскании результата сложения. Если же он научен умению прибавить 3 к 4 по 1, т. е. так: 4 + 1=5, 5 + 1= 6, 6+ 1 = 7 или же так: 4+2=6, 6+ 1=7 то он всегда может воспроизвести забытый результат. Вот почему мы, не отвергая пользы упот-

ребления числовых фигур при производстве действий, вместе с тем обучаем детей умению добыть результа­ты действий.

Третье назначение числовых фигур заключается в том, что они могут служить предметом для счета, но, как неподвижные и неподлежащие осязанию, они менее ценны, чем подвижные вещественные наглядные пособия, как, например, палочки, кубики, орехи и т. п.

Четвертое назначение числовых фигур может состоять в том, что они могут облегчать переход от числа к цифре, ибо числовая фигура, подобно цифре, является знаком для числа, явно показывающим число единиц в данном числе.

Картинки должны быть одним из наглядных пособий, хотя и важным, но не главным, при обучении арифметике; главным наглядным пособием должны быть действительные, вещественные предметы, ибо они, как подлежащие осязанию, а не указыванию только как картинки, могут быть действительно отнимаемы и прибавляемы по одному и по группам, чего нельзя сказать про картинки, где подобные действия можно производить только мысленно, в воображении.

<...> Пословицы, поговорки, загадки и стихи.

<—> Мы ничего не имеем в принципе против этого вида упражнений, а особенно загадок на уроках арифметики, смотря на них, как на одно из средств, освежающих детей от усталости. Но только настаиваем на том, чтобы, во-первых, на уроках арифметики в этих упражнениях было непременно числовое содержание, во-вторых, чтобы этих упражнений было немного и, в-третьих, чтобы они были просты по своему содержанию.

Д. Л. Волконский. Руководство к "Детскому миру в числах". Ч. 1. М.: 1916. С 7—11,13,24