О возникновении представлений основных чисел

Прежде <…> всего мы попытаемся свести к основным принципам ус самые условия возникновения числовых представлений, т. е. расположение рядами или группами, расстояние или разметку, направление, цвет, яркость, форму и величину объектов, смежных в пространстве и познаваемых при помощи зрения и осязания, а также и расположение рядами или группами (ритмически) объектов, последовательных во времени и при помощи слуха или движений. Предположим теперь, что ребенок сбросил со стола на пол или исех своих оловянных солдатиков, или же всех, приме одного. Он замечает, что у него остался еще один. Предмет, или не осталось ничего. Окружающие говорят ему " У тебя есть еще один" или "У тебя ничего больше нет" Ребенок смотрит на игрушки, лежащие на полу; ему

говорят, что на полу лежат несколько, мало или много

предметов.

Путем подобных контрастов ребенок приобретает числовые представления: много, один, ничего, несколько, мало и т. д, и одновременно с этим начинает применять их к самым разнородным предметам. То же происходит и с представлением и наименованием чисел 2 и 3. Во многих случаях, когда на детей обращают меньше внимания, они долгое время владеют представлениями этих чисел, не зная еще соответствующих имен числительных. Понятия могут существовать без слов: мышление возможно без языка-этоположение каждый может проверить на себе самом; то же доказывают наблюдения над больными, страдающими недостатками органов речи, и наши опыты над детьми детского сада. Наблюдение учит, кроме того, что после приобретения представления числа 3 дальнейшее развитие числовых представлений на время приостанавливается. Легко обнаружить и причину этого явления. Дело в том, что три пространственных предмета могут образо­вывать или треугольную группу, воспринимаемую весьма легко, или же ряд, который также еще может быть воспринят. При большем числе объектов обстоятельства складываются уже не столь благоприятно; число объектов ряда большее трех, не может быть воспринято отчетливо, с наглядными же группами ребенку приходится встречаться слишком редко. Поэтому дальнейшее развитие числовых представлений происходит уже в школе под более или менее методическим руководством преподавателя; характер развития, содержание и сущность числовых представлений могут быть при этом весьма различными, в зависимости от тех или иных приемов обучения и применяемых наглядных пособий. Если в основу преподавания положены квадратные числовые фигуры, то каждый ученик может располагать по меньшей мере 10 отчетливыми числовыми представлениями; если же при преподавании применяются ряды, то отчетливые числовые представления отсутствуют, так как расплывчатые представления неопределенных количеств "мало" и "много" - нельзя считать отчетливыми числовыми представлениями; опыты же наши неопровержимо доказали, что одновременное восприятие ряда у детей не идет дальше 3.

<...> Счет помогает только отыскивать наименование числа; вызвать же отчетливое представление ряда, в котором одновременно с совокупностью можно было бы различить и каждую отдельную единицу, - счет совершенно не может. Правда, по мере приобретения навы­а в счислении наглядные представления чисел все больше и больше отодвигаются на задний план, уступам место формальным представле-

ниям цифр, движений органов речи и звуковых образов; таким образом, разница между 2 учениками, из которых один обучается по наглядному методу, а другой - по методу счета, с течением времени сглаживается. Но все же между ними остается следующее существенное различие: формальные числовые представления или понятия чисел первого ученика имеют живое содержание, которое можно припомнить в любой момент, тогда как представления второго ученика лишены всякого прочного фундамента. В первом случае мы имеем натуральный плод - здоровое зерно, покрытое скорлупой, во втором же - только пустой орех.

Основываясь на данных психологии детей и первобытных народов и наших опытах, мы прежде всего приходим к следующему взгляду на возникновение числа:

Числовые представления развиваются самостоятельно при созерцании предметов, смежных в пространстве или последовательных во времени.

Смежность предметов в пространстве более способствует этому развитию, чем последовательность во времени.

Пространственные группы шаров делают возможными отчетливые представления чисел, по крайней мере, до 10, тогда как пространственные ряды, заключающие более 3 объектов, облегчают лишь отыскание имен числительных.

Первые ведут к наглядным представлениям, имеющим живое созер­цание, вторые - к чисто формальным, бессодержательным, словесным представлениям.

Мы нашли, что восприятие объектов, расположенных рядами или группами, зависит: 1) от формы их, 2) от расстояния и отметок, 3) от величины И 4) от цвета и яркости. Все эти категории зависимости можно свести к одной; можно сказать просто, что восприятие происходит тем легче, быстрее и вернее, чем резче указанные свойства выделяют данный объект на том или ином фоне среди других объектов.

Обзор основных результатов исследования

Теперь мы ознакомились с возникновением числовых представлений, выяснили (насколько нам это позволили результаты наших опытов) сущность числа и, наконец, изучили строение чи­словых представлений при наличии навыка в счислении. Нам оста-

ется только выделить и сопоставить наиболее важные из сделанных нами выводов:

1) По мере развития способности приобретать ясные и отчетливые представления предметов у ребенка растет и способность к восприятию числа.

2) То, что облегчает восприятие предметов: известная однородность, расположение, расстояние, величина, окраска, направление частей — облегчает и восприятие числа.

3) Так как в природе не встречается предметов, обладающие: сразу всеми указанными свойствами, то человеку приходится самому создавать наглядные пособия для первоначального преподавания арифметики, которые удовлетворяли бы поставленным условиям.

4) Наглядное пособие должно давать возможность одновременно воспринимать предметы не только при помощи зрения, но и при помощи осязания.

5) Сущность числового представления состоит в восприятии совокупности и всех содержащихся в ней единиц.

6) При апперцепции, имеющей целью выработку понятия числа, внимание обращается на существование вещей; этому способствует известная однородность воспринимаемых предметов, определенная величина их, форма, расстояние и окраска, которые могут быть найдены путем опытов. Сущность же числа не зависит от расположения объектов во времени или в пространстве; поэтому форма ряда, весьма удобная для логической дедукции при арифметических доказательствах, все же нисколько не влияет на сущность числа.

7) Восприятие предметов посредством осязания, а не только зрения, ведет к более живому и ясному сознанию существования предметов, а, следовательно, и к более ясным числовым представлениям; встречаемое сопротивление заставляет нас признать существование чего-то постороннего, отличающегося от нас самих, к признанию окружающих нас предметов; сопротивление, встречаемое в органах чувств, слишком незначительно; сопротивление же движению (при ощупывании) достаточно сильно, чтобы убедить нас в существовании предметов. То, что побывало в руках, становится понятным даже тем, кто обладает плохими способностями.

8) Представление числа, как и всякое другое представление, можно назвать ясным и отчетливым лишь в том случае,

если вместе с целым, как таковым, воспринят и каждый отдельный признак этого целого; необходимо познать и существование не только всей совокупности вещей, но и с пмние каждой отдельной вещи.

9) Этому требованию лучше всего удовлетворяют квадратные числовые фигуры, изображаемые посредством тел; наглядные пособия, построенные по принципу рядов, этому требованию удовлетворить ие могут, так как при начальном преподавании арифметики главное значение имеет наблюдение и содержательное, отчетливое представление числа, обусловливаемое комплексом ощущений не счет и бессодержательные названия чисел, находимые путем счета;

10) Так как связь между представлениями способствует запоминанию их, то следует стремиться к установлению зав между восприятием числа посредством зрения и восприя посредством осязания.