Дифференциалы высших порядков. Пусть х — независимая переменная, у = f(x) — дифферен­цируемая функция

Пусть х — независимая переменная, у = f(x) — дифферен­цируемая функция.

df(x) = f'(x)dx таким образом, дифференциал функции f(x) есть функция от двух аргументов: х и dx. В дальнейшем мы будем предполагать, что dx — дифферен­циал независимой переменной х - имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от независимой переменной х и одно и то же для всех рассматриваемых функций.

Если dx фиксировано, то df(x) есть некоторая функция от х, пропорциональная производной f'(x), с коэффициентом пропор­циональности, равным dx. Может случиться, что эта функция также имеет дифференциал (для этого достаточно, чтобы существовала вторая производная); в таком случае последний называ­ется дифференциалом второго порядка (или вторым дифферен­циалом) функции f(x).

Определение. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d²f(x) функции f(x) на­зывается дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е. d²f(x) = d[df(x)]. Аналогично, дифференциалом третьего порядка (или треть­им дифференциалом) d³f(x) функции f(x) называется дифферен­циал от дифференциала второго порядка этой функции, т.е. d³f(x) = d[d²f(x)]. Так последовательно определяются дифференциалы высших по­рядков.

И снова задания:

1. Найти дифференциал dy функции, если:

у = 3х²; у = х sin х + cos х; у = ; у = ; у = ln х.

2. Найти дифференциал dy функции у = х², где х = 2 - t + t².

3. Пусть у = х³ - 2х² + Зх + 6. Найти Dу и dy и сравнить их между собой, если: а) х = 1, D x = 1; б) х = 1, D x = 0,1.

4. Ребро куба х = 10 м. На сколько увеличится объем этого куба, если ребро его получит приращение D x = 0,1 м? Дать точное и прибли­женное решения.

5. Заменяя приращения функции дифференциалом, приближенно найти:

а) ; б) cos 60°20'; в) arctg 1,02.

6. Какова предельная абсолютная погрешность функции у = tg х, если х = 60° ± 1°?

7. Каков объем куба если в результате его деления на 100000 частей (одинаковые кубики) была получена суммарная поверхность 10 000 м² .!!! Не забывать, какую тему мы изучаем!

8. f(p, V, T)=0 - данная запись соответствует уравнению состояния, в координатах p-V-T оно может быть выражена некоторой поверхностью. Выразим объем системы: V=f(p, T). Продифференцируем это выражение:

dV=df(p, T)=(¶V/¶р)_Тdp+(¶V/¶T)_pdT

Полученное выражение есть полный дифференциал. Обратите внимание через какие производные он выражен. ?проделайте подобные операции и для других выражений газовых законов?

Продифференцируйте следующие выражения (вспомните, что такое функция состояния):

DU=TDS-pDV; DG=DH-TDS

Занятие №4. Интегрирование.

Основные понятия и термины.

Неопределенные интегралы. Общие правила интегрирования. Интегрирование некоторых рациональных дробей. Определенный интеграл. Свойства определенных интегралов. Среднее значение функции. Графическое интегрирование. Приближенное вычисление определенных интегралов. Процессы первого порядка. Радиоактивный распад. Процессы второго и третьего порядка.