Задачи приводящие к интегралам

Для уяснения смысла интегрирования рассмотрим следующий при­мер. Предположим, что тело движется по прямой линии с постоян­ной скоростью v. Пусть х представляет расстояние (в км), пройденное телом, а t - время (в часах). Скорость v выражается производной , которая в рассматриваемом случае является постоянной. Время, необходимое для прохождения участка пути, например, от 200 до 500 км, при постоянной скорости 50 км/час, будет равно:

При переменной скорости расчет усложняется. Примем, что v линейно зависит от х; пусть, например:

v = 0,05 x (1)

Время, необходимое для прохождения отрезка пути от 200 до 500 км, может быть вычислено приближенно при использовании средней скорости, например, 17,5 км/час, соответствующей 350-му километру пути. При этом затраченное время составит:

Более точный результат получим, если, используя средние ско­рости, вычислим отдельно время прохождения участков пути от 200 до 300 км, от 300 до 400 км и от 400 до 500 км и сложим полученные числа. На каждом из этих участков тело движется со средней скоростью 12,5 км, 17,5 км и 22,5 км; следовательно, первый участок будет пройден за 8 час., второй за 5,71 часа и третий за 4,45 часа. Весь путь будет пройден за 18,16 часа.

При дроблении 300-километрового пути на еще более мелкие участки суммирование дало бы еще более точный результат. Точный результат, очевидно, получим, если будем предполагать, что число участков неограниченно возрастает, так что длина каждого участка стремится к нулю. Время Dt, необходимое для прохождения пути D x, получается делением D x на v, что дает:

Чтобы получить все время, необходимое для прохождения пути от 200 до 500 км, надо сложить все промежутки времени Dt. Полу­ченное при этом значение для времени будет тем точнее выражать истинное значение времени, чем мельче будут отрезки пути D x, на которые мы разбили весь путь от 200 до 500 км. Если рассмотреть не сумму всех Dt, а предел этой суммы в предположении, что все D x стремятся к нулю, то этот предел даст нам точное значение искомого времени:

(2)

Подобные пределы сумм называются в математике определенными интегралами и обозначаются так:

Численное значение этого интеграла оказывается равным 18,33 часа. ?Пройдем по аналогичному пути, но за начальное значение возьмем концентрацию 0,10 моль/л, а за конечное 0,05 моль/л, вместо коэффициента линейного изменения 0.05 возьмем погрешность концентрации. В итоге получим период полупревращения.?

Рассмотрим другой пример - инверсию сахара. Применяя закон действующих масс к этому процессу, заключаем, что коли­чество сахара, инвертируемого в единицу времени, прямо пропор­ционально количеству сахара в растворе.

Пусть а - первоначальное количество сахара в растворе и пусть за время t инвертируется количество сахара х, т. е. к моменту времени t в растворе остается (а - х)сахара. Допустим, что в тече­ние промежутка времени от t до t + Dt реакция протекает равно­мерно, пусть при этом количество инвертируемого сахара равно dx. Для этого промежутка времени, по приведенному выше закону, скорость реакции пропорциональна наличному количеству сахара (а – х)и так, как мы эту скорость считаем постоянной, то количество инвер­тируемого сахара в этот промежуток времени будет равно k (а - x) dt, где k - некоторый множитель пропорциональности. Следовательно, мы имеем: dx = k(a - х) d t

или

=k(a-x) (3)

Химический закон получил математическое выражение, и нам остается решить задачу, состоящую в нахождении функциональной связи между х и t, выраженной этим уравнением. Для нахождения этой функциональной зависимости запишем уравнение (3) так:

(4)

Легко убедиться, что:

(5)

В самом деле, дифференцируя (5), получаем:

Решение химической задачи мы привели к математической задаче нахождения функции по заданному ее дифференциалу. Эта задача обратная той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где требуется найти производную или дифференциал по данной функции. В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые изменения переменной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой величины на основании данного закона, связы­вающего эти две величины, т. е. когда известна функциональная зависимость между этими величинами.

В решенной нами задаче были даны бесконечно малые изменения одной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой, и требовалось найти функциональную зависимость между этими двумя величинами.

Область математики, занимающаяся решением таких задач, носит название интегрального исчисления. В задачах, которыми занимается интегральное исчисление, стремятся определить полный, во всем его объеме, ход явления.