Правила интегрирования

При изучении дифференцирования мы установили ряд простых правил, с помощью которых можно легко найти производные любых элементарных функций. Для интегрирования подобные общие правила не существуют, можно лишь указать отдельные приемы интегри­рования, пользуясь которыми, удается проинтегрировать некоторые функции. Существуют элементарные функции, неопределенные инте­гралы от которых нельзя выразить через элементарные функции. Перечислим некоторые правила интегрирования.

1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

ò Cf(x)dx = С ò f (x) dx (9)

2. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов отдельных слагаемых:

ò [u (х) + v(x) - w(x) ] dx = ò и (х) dx + ò v (x) dx - ò w (x) dx (10)

3. Если нам известен интеграл

ò f(x)dx = F(x)+C то, заменяя х линейной функцией ах+b, будем иметь:

ò f(ax + b)dx= (1/а) F(ax + b) + C (11)

Например:

ò cos ax dx= (1/а)sin ax + С (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

4. Во всех приведенных формулах x можно заменить какой-либо функцией f(х), так что каждая из этих формул включает множество частных случаев, соответствующих различным видам функции f(x). Таким образом, имеем, например, следующие формулы:

(19)

(20)

(21)

По формуле (20) найдем:

(22)

(23)

5. Интегрирование по частям. Если u и v - функции от x, то

d (uv) = udv+vdu,

откуда:

uv = ò udv+ ò udv

или

ò udv=uv- ò vdu (24)

Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. С ее помощью мы сводим вычисление интеграла, стоящего в левой части, к вычислению другого интеграла, стоящего в правой части. Часто этот интеграл оказывается проще исходного.

Примеры.

а) ò ln x dx.

Полагая

u = ln x, dv = dx,

находим:

du = , v = x

Поэтому:

ò ln x dx=x ln x- ò xdx=x ln x- x+C

б) ò xe^x dx.

Полагая

u = x, dv = e ^х dx,

имеем:

du = dx, v= ò e^xdx = e^x

Отсюда:

ò xe^x dx = xe^x - ò e^x dx = xe^x - е^x +C

в) ò x sin x dx.

Полагая

u = x, dv = sin xdx,

получаем:

du = dx v = ò sin x d x=- cos x

Отсюда:

ò x sin x dx = - x cos x + ò cosx dx = - x cosx+sinx+C

Нельзя дать общего правила, как нужно разлагать подинтегральное выражение на множители uи dv. Во всяком случае разложение это следует делать так, чтобы можно было определить функцию v и чтобы полученный новый интеграл был известен или, по крайней мере, проще первоначального.

6. Интегрирование посредством введения новых переменных за­ключается в том, что при вычислении интеграла

ò f(x)dx

вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с х некоторой зависимостью. Эту зависимость стараются выбрать так, чтобы преобразованный интеграл был проще данного интеграла. Общих методов для выбора подстановки указать нельзя, выбор этот определяется математической структурой подинтегральной функции.

Примеры.

a)

Полагаем:

sin x = t; cos x dx= dt

Тот же интеграл можно вычислить иначе:

б)

Полагаем:

;

При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бес­численное множество функций, отличающихся друг от друга постоян­ным слагаемым. Для того, чтобы из совокупности первообразных функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что задается числовое значение искомой первообразной функции при некотором значении независимого переменного. Это дает возможность найти то числовое значение, которое следует придать произвольному постоянному.

Рассмотрим для примера свободное падение тел. Ускорение прямо­линейного движения равно производной от скорости w. Для свобод­ного падения:

Отсюда следует:

Следовательно: (25)

Пусть в момент времени т = 0 вертикальная составляющая ско­рости движения равна w₀. Из (25) вытекает: w₀=С

Следовательно, функция определяет скорость падения тела в любой момент t.