Производные от некоторых функций

3.2.1 Операция нахождения производной не совсем точно называ­ется дифференцированием.?Почему, как вы думаете??

Производная функции у = f(x) может быть найдена по сле­дующей схеме:

1) аргументу х даем приращение D x ¹ 0 и находим для функ­ции у соответствующее приращенное значение у + D у = f(x + D х);

2) вычитая из нового значения функции у + D у ее прежнее значение у = f(x), получаем приращение D у функции;

3) составляем отношение ;

4) находим предел этого отношения при условии, что D х ®0. Результат и является производной у' от функции у по аргументу х, если, конечно, он существует.

Пользуясь этой схемой, найдем производные некоторых про­стейших функций.

Производная от степени х ⁿ, где n — целое положительное число.

Пусть у = хⁿ.

(хⁿ)' = nх^n-1; х¢=1; (х³)' = Зх²

; и т.д.

Производная постоянной. Производная постоянной вели­чины равна нулю.

Постоянную величину с можно рассматривать как функцию

f(x) = с, принимающую одно и то же значение. с'=0.

Производная суммы. Производная алгебраичес­кой суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функ­ций.

Пусть, например, у = и + v – w, где и, v и w — некоторые дифференцируемые функции от х. (и + v – w)' =и' + v' - w'

Пример. Найти производную от функции у = 2 - х + х². Применяя формулу приведенную выше формулу, имеем: у' = (2)' - (х)' + (х²)' =-1+ 2х.

Производная произведения. Проuзводная произ­ведения двух дифференцируемых функций равна произведе­нию первого сомножителя на производную второго плюс про­изведение второго сомножителя на производную первого.

Пусть у = uv, где и и v — некоторые дифференцируемые функции от х. Имеем (uv') = u'v + uv'

Производная частного. Если числитель и знаменатель дроби – дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

Пусть ;

Пример. Пусть . Применяя изложенное выше правило, будем иметь

3.2.2 Производная сложной функции

Рассмотрим некоторую сложную функцию

Если в цепи функциональных зависимостей у = f(z) и z = j(х) аргумент х является последним, то мы будем называть его неза­висимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что изменение этого аргумента не зависит от поведения других пе­ременных величин). Таким образом, понятия аргумента и независимой переменной сле­дует различать. Например, пусть

у = sin z и z = x².

Здесь z есть аргумент функции у, но z, очевидно, не будет независимой переменной. Если у = f(z) и z = j(х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная слож­ной функции существует и равна производной данной функции у по проме­жуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х, т. е.

3.2.3 Частные производные

Во многих случаях переменная величина зависит от двух и большего числа независимых переменных; функция имеет вид: u=f(x, y, z, …). При наличии только двух независимых переменных функциональную зависимость u = f(x,y) можно представить геометрически поверхностью в пространстве.

Если мы примем у за постоянное, то u станет функцией от одного только х. Производная функции u, вычисленная при этом предположении, называется частной производной от u по х и обозначается . Аналогично, производная от u, вычисленная в предположении, что меняется только у, а х сохраняет постоянное значение, обозначается и называется частной производной от u по у.

Геометрически есть тангенс того угла, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к кривой, получаемой сечением поверхности u = f(x,y) плоскостью, перпендикулярной оси OY и проходящей через точку, в которой вычисляется производная. Частная производная выражает собою скорость изменения функции в предположении, что меняется только одна независимая переменная, а другие сохраняют постоянные значения.

3.2.4 Понятие о производных высших порядков

Производная f'(x) от функции f(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функ­цию. Может случиться, что эта функция сама имеет производ­ную. Тогда производная от производной первого порядка назы­вается производной второго порядка или второй производной и обозначается так: f"(x). И так f"(x) = [U'(x)]'.

Производная от производной второго порядка, если она су­ществует, называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается так: f'"(x), т. е. f"'(x) = [f"(x)]',

и т. д.

Для обозначения дальнейших производных употребляются римские цифры.

Пример. Пусть у = sin x. Тогда имеем последовательно у' = cos х, у" = -sin х, у"' = -cos х,....

3.2.5 Пример применения

Понятие первой и второй производной широко используется для определения и регистрации фазовых переходов первого и второго рода.

Эти же понятия используют нахождение точки эквивалентности при потенциометрическом титровании. Построение графика в координатах dE/dV от V позволяет по максимуму на полученной кривой определить точку эквивалентности. В случае титрования слабых электролитов изгиб на кривой титрования неявный и пользуются второй производной d²E/dV². Графики функций, как исходной, так и после

преобразований представлены на рисунке.

Обработку данных ведут по следующему алгоритму:

a) Последовательно рассчитывают разницу между последующим и предыдущим значением, как для объема, так и для потенциала.

b) Делим полученные разности потенциала на разность объема.

c) Рассчитываем значение середины каждого интервала объема.

d) Полученное значение частного откладываем относительно середины интервала объема.

e) Для нахождения второй производной повторяем операцию а) два раза и далее операции b), с), d).

По имеющимся данным постройте график в координатах dE-V, d²E/dV²-V.