Производная

3.1.1 Задача о касательной

Пусть М - фиксированная точка данной непрерывной кривой К (рис. 1). Рассмотрим секущую ММ', проходящую через точку М. Может случиться, что, когда точка М' по кривой неограниченно приближается к точке М, секущая ММ' стремится к некоторому предельному положению МТ, т. е. угол g ⁼ ÐM'MT ® 0 при М' ® М. Тогда предельная прямая МТ называется касательной.

Покажем теперь, как находится уравнение касательной по заданному уравнению линии. Зная уравнение непрерывной линии у = f(x), найдем уравнение касательной в данной ее точке М (х, у), предполагая, что касательная существует.

Наряду с точкой М (х, у) возьмем на нашей линии другую точку М'(х + Dх, у + Dу) (рис. 2). Проведя секущую ММ' и прямые MN || Ох и M’N || Оу,

получим прямоугольный треуголь­ник MNM' с катетами MN = Dх и NM' = Dу.

Пусть секущая ММ' составляет с положительным направле­нием оси Ох угол j; тогда, очевидно, Ð NMM' = j. Из прямо­угольного треугольника MNM' определяем угловой коэф­фициент секущей:

k’=tgj=D х/ D y. (1)

Пусть теперь М' ® М; тогда, очевидно, D х ® 0 и секущая ММ' стремится к своему предельному положению — касательной в точке М (мы предполагаем, что касательная существует). Обозначим через a угол, образованный касательной с по­ложительным направлением оси Ох. При Dх ® 0 будем иметь (j ®a, и если касательная не перпендикулярна оси Ох, то в силу непрерывности тангенса получим tg j ®tg a,отсюда, переходя к пределу при Dx® 0 в равенстве (1), найдем угловой коэффициент k = tga касательной:

(2)

Предел, стоящий в правой части равенства (2), называется про­изводной функции у = f(x) в точке х и сокращенно обозначается следующим образом:

(3)

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графи­ку функции равен значению ее производной в точке касания, т. е.

k = f'(x). (4)

Зная угловой коэффициент касательной, легко написать ее уравнение. Касательная проходит через точку касания М(х, у), поэтому ее уравнение имеет вид

У - у = k(X - х),

где Х и У — текущие координаты. Подставляя сюда значение углового коэффициента k и учитывая, что точка М лежит на линии, получаем уравнение касательной к этой линии

У - f(x) = f'(x)(X – х). (5)

Если обозначить для ясности координаты точ­ки касания через (х₁, у₂), а текущие координаты точки касательной прямой через (х, у), то уравнение касательной к линии у = f(x) в точке M₁(х₁, у₁) имеет вид

у - у₁ = у’(х – x₁), (5')

где у₁ = f(х₁) и у₁’ = f ’(x₁).

Заметим, что касательная к графику функции у = f(x) обра­зует в данной точке с положительным направлением оси Ох ост­рый или тупой угол, смотря по тому, будет ли производная функ­ции в этой точке положительна или отрицательна. Если же про­изводная равна нулю, то касательная к графику функции в со­ответствующей точке, очевидно, параллельна оси Ох.

Нахождение значения касательной в определенной точке - одна из распространенных задач при расчете мгновенной скорости в кинетике, расчете массы осадка при седиментации и т.д.

3.1.2 Задача о скорости движения точки

К понятию производной приводит также задача о вычисле­нии скорости неравномерного движения (вот вам изменение концентрации в ходе реакции).

Предположим, что точка М движется по некоторой прямой, которую примем за ось Ох (рис. 3). Каждому значению време­ни t соответствует определенное расстояние ОМ = х. Следова­тельно, можно сказать, что абсцисса х движущейся точки есть функция времени t:

х = f(t).

Это уравнение называется уравнением движения; оно выражает закон движения точки.

Зная закон движения, можно найти скорость движущейся точки для любого момента времени.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка за­нимает положение М, причем ОМ = х. В момент t + Dt точка займет положение М', где ОМ' = х + Dх. Отсюда х + D x = f(t + Dt). Следовательно, перемещение точки М за время Dt бу­дет:

Dх = f(t + Dt) - f(t). (1)

Если точка М в течение промежутка времени [ t, t + Dt] двигалась в одном направлении, то Dх численно представляет собой путь, пройденный точкой за время Dt. Отношение

(2)

выражает среднюю скорость изменения абсциссы х за про­межуток времени Dt, обычно называемую средней скоростью движения точки. Предел средней скорости движения при стрем­лении к нулю промежутка времени Dt называется скоростью движения в данный момент времени t. Обозначая эту скорость через v, получаем

(3)

По аналогии с задачей о касательной можно сказать, что полученное выражение (3) представляет собой производную функции х по переменной t, т. е. v =f’(t)

Таким образом, скорость прямолинейного движения равна про­изводной от пути по времени.

3.1.3 Общее определение производной

Рассмотрение задач о касательной и скорости движения ис­торически привело к понятию производной, являющемуся од­ним из основных понятий высшей математики. При решении этих задач нам, в сущности, приходилось проделывать одну и ту же операцию: находить предел отношения приращения функ­ции к приращению аргумента.

Сейчас мы разберем этот вопрос в общем виде. Для простоты мы сначала будем предполагать, что рассмат­риваемая функция у = f(x) определена на некотором конечном или бесконечном интервале. Пусть х - некоторая фиксированная точка этого интервала. Дадим аргументу х приращение Dх ¹ 0 такое, что х + Dх принадлежит нашему интервалу, тогда функция у получит соответствующее приращение

Dy = f(x + Dх) - f(x). (1)

Составим отношение

(2)

Это отношение показывает, во сколько раз на данном промежут­ке[х, х + Dх] приращение функции у больше приращения ар­гумента х; иными словами, оно дает среднюю скорость изменения функции у относительно аргумента х на промежутке [х, х + Dх].Пусть Dх® 0; тогда и Dу ®0.

Тогда формула (3)

определяет некоторую функцию у' == f'(x), носящую название производной функции f(x).

Таким образом, производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произведенная (т.е. полученная по опреде­ленным правилам) из данной функции.

Функция, имеющая производную, называ­ется дифференцируемой.

Для обозначения производной данной функции у = f(x) кроме

у' = f'(x) (Лагранж)

употребляются также символы

(Л е й б н и ц)

(Ньютон).

В тех случаях, когда неясно, по какому аргументу (х, t и т. п.) происходит дифференцирование функции у, для соответствую­щих производных употребляются обозначения

и т.п.

Используя формулу (1), выражение для производной можно записать более подробно:

С помощью формулы (2), опираясь на теорию пределов, мож­но находить производные функций.

Пример. Найти производную функции у = х².

Пусть х — произвольное фиксированное значение аргумента. Давая х приращение Dх¹0, будем иметь у + Dу = (х + Dх)². Отсюда

Dу = (х + Dх)² – х² = 2 х× Dх + (Dх)² и, следовательно,

Таким образом, (х²)' = 2х. (6)

Особенно наглядный смысл получает производная функции у = f(x), если под аргументом х понимать время. Тогда отношение Dу /Dх представляет собой среднюю скорость изменения функции у за промежуток времени [ х, х + D x ].

3.1.4 Физическое значение производной.

Производная дает возможность изучать характер изменения функции. Чем больше модуль производной, тем резче изменяет­ся функция у при изменении аргумента х и, следовательно, тем круче подымается или опускается график этой функции. Если производная некоторой функции у положительна, то, очевидно, это означает, что с возрастанием аргумента х функция у также растет; если производная функции отрицательна, то это значит, что с возрастанием х функция у убывает.

Быстрота протекания физических, химических, биологиче­ских и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т. п., также выражается при по­мощи производной. Поясним это на примерах:

Предположим, что температура тела U есть убывающая функция времени: U = f (t).

Пусть t - фиксированный момент времени. Если t получает приращение Dt, температура U изменяется (уменьшается) на DU;

тогда отношение представляет собой среднюю скорость охлаждения тела, а предел этого отношения при Dt ® 0, т. е. , выражает скорость охлаждения тела в данный момент t. Таким образом, скорость охлаждения тела равна производной температуры тела по времени.

Обозначим через х количество вещества, образовавшегося при химической реакции за промежуток времени t. Очевидно, х есть функция времени: х = f (t). Если t получает приращение Dt, то х получает приращение D х. Тогда отношение представляет собой среднюю скорость химической реакции, а предел выражает скорость химической реакции в данный момент t. Таким образом, скорость химической реакции равна производной реагирующей массы по времени.

Дайте определения:

1. Что понимается:

а) под средней скоростью реакции;

б) под мгновенной скоростью реакции?

2. Что такое:

а) средняя линейная плотность материального стержня;

б) линейная плотность стержня в данной точке?

3. Что следует понимать:

а) под средней теплоемкостью;

б) под теплоемкостью?