Связь дифференциала функции с производной

3.4.1 Дифференциал независимой переменной

Дифференциал функции равен произведению про­изводной этой функции на приращение независимой перемен­ной, т. е. dy = y 'D x. (1)

Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождест­венной с независимой переменной, т. е. функции у = х.

Так как

у' = 1 для у = х, (3)

то согласно формуле (1) имеем

dx = D х, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой независимой переменной. Пользуясь этим последним свойством, формулу (1) можно пе­реписать в следующем симметричном виде:

dy = y'dx. (4)

Итак, дифференциал функции равен произведению производ­ной этой функции на дифференциал независимой перемен­ной. Разделив обе части последней формулы на dx, получим

Иными словами, производная функции равна отношению диф­ференциала этой функции к дифференциалу независимой пе­ременной.

3.4.2 Геометрический смысл дифференциала

Выясним геометрический смысл дифференциала функции. Рассмотрим график функции у = f(x). Пусть М(х, у) и М'(х + Dх, у + Dу) — две точки данной кривой (рис. 2). В точке М проведем касательную МТ к графику функции (здесь Т — точка пересечения касательной с М'N || Оу ) и рассмотрим треугольник MTN с катетами MN = D х и NT (MN || Ox, NT || Оу). Если через j обозначить угол, образо­ванный касательной МТ с положи­тельным направлением оси Ох, то бу­дем иметь NT = Dх tg j.

Но из геометрического смысла производной следует tg j=f’(x) = y’. Поэтому NT = у'Dх = dy.

Дифференциал функции у = f(x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение Dх. Приращение функции Dy = NM' (рис. 2), во­обще говоря, не равно дифференциалу dy = NT этой функции. В частности:

1) если график функции вогнут вверх, то

Dy > dy;

2) если же график функции вогнут вниз, то

Dy < dy.

3.4.3 Физическое значение дифференциала

Пусть известен закон движения точки М по оси Ох:

х = f(t), где х — расстояние точки М от начала отсчета О, t — время, причем будем предполагать, что точка М движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени dt точка М переместится в точку М', пройдя при этом путь

Dх = f(t + dt) - f(t). Это есть истинное приращение пути.

Дифференциал пути dx согласно формуле (4) равен dx = x_t'dt.

Но x_t', представляющая собой производную пути по времени, есть скорость движения v в момент времени t; поэтому dx = vdt.

Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктив­ному приращению пути, которое получится, если предполо­жить, что, начиная с данного момента времени, точка дви­жется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

3.4.4 Приближенное вычисление малых приращений функции

Если D x мало по абсолютной величине, то для дифференци­руемой функции f(x) ее приращение D f (x)= f (x + Dx) - f(x) отличается от дифференциала df(x) = f'(x)Dx на величину, бесконечно малую относительно D x. Отсюда имеем приближенное равенство

f(x + Dх) - f(x)» f (x)D x, (1)

или

f(x + Dx) = f(x) + f'(x)bx. (1’)

Эти равенства весьма полезны при приближенных расчетах. За­метим, что формула (1’) представляет собой линейный член фор­мулы Тейлора.

Пример. Найти, полагая в формуле (1’) f(x) = ,

f'(x)= , x = 1, D x =0,1, будем иметь

Находим = 1,032.

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.

Для данной функции у = f(x) предельная абсолютная погрешность ее аргумента х равна D_x, т. е. |D x | £ D_x.

Каковы предельные абсолютная D_y, и относительная d_у по­грешности функции у? Из формулы (1) имеем |D у |=| y’ |×|D x |; следовательно, при у' ¹ 0 можно принять

D_y = | y' | D_x (2)

и d_у = .

Ну вот, а теперь задачи:

Угол х = 60° определен с точностью до 1°. Какова относительная и абсолютная погрешность синуса этого угла?

Скорость химической реакции описывается следующим уравнением v =1,3(С_А)². Какова относительная и абсолютная погрешность скорости химической реакции при концентрации 0,1, 0,010, 1×10^-4 моль/л.

3.4.5 Свойства дифференциала

Дифференциал постоянной равен нулю.

dc = 0.

Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

d (и + v - w) = du + dv - dw.

Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между со­бой.

d(u + с) = du + dc.

Полагая здесь с постоянной и, следовательно, dc = 0, получим

d(u + с) = du.

Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

d(cu) = cdu.

Дифференциал произведе­ния двух сомножителей равен произведению первого сомножи­теля на дифференциал второго плюс произведение второго сом­ножителя на дифференциал первого.

Если и и v — дифференцируемые функции от х, то имеем

d(uv) = udv + vdu.

Дифференциал дроби (частно­го) равен дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произ­ведение числителя на дифференциал знаменателя, а знамена­тель есть квадрат знаменателя дроби.

Дифференциал слож­ной функции равен произведению про­изводной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (обе функции дифференцируемы).

Пусть у = f [j(x)]. Положим j(х) = и и, следовательно, у = f (u). Если f(u) и j(x) — дифференцируемые функции

du = y'_udu.

Независимость вида дифференциала от выбора неза­висимой переменной.

Дифференциал функции равен произведе­нию производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой неза­висимой переменной.