Дифференциал

3.3.1 Понятие о дифференциале функции

Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию . Приращение D у функции у служит важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке. Однако непосредственное определение приращения функции иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим об­разом: разбивают отрезок на конечное число достаточно малых отрезков и приближенно считают, что на каж­дом из них прирост функции происходит по закону прямой про­порциональности. Элемент кривой линии рас­сматривают как прямолинейный; неравномерное движение точ­ки в течение малого промежутка времени трактуют как равно­мерное и т. п. Иными словами, предполагается, что на достаточно малом от­резке имеет место приближенное равенство Dу» kDx, где коэффициент пропорциональности k не зависит от D х, но, вообще говоря, зависит от х. Если при этом окажется, что при надлежащем подборе коэффициента пропорциональности по­грешность Dу - kDx будет бесконечно малой величиной высшего порядка относительно D х, т. е. отношение

, где a бесконечно малая величина при Dх — > 0 (1)

В этом случае dy = kDx называется дифференциалом функции у в точке х (здесь буква d - знак дифференциала). Как следует из соот­ношения (1), справедливо равенство

Dy = kDх + aDх, (2)

где a® 0 при D х ® 0.

Иначе говоря, D y = dy + 0 (Dx).

Дифференциалом функции называет­ся величина, пропорциональная приращению независимой пе­ременной и отличающаяся от приращения функции на беско­нечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Слагаемое kDx в формуле (2) часто называют главной линей­ной частью приращения функции (или главным линейным чле­ном приращения). Поэтому можно сказать: дифференциал функ­ции представляет собой главную линейную часть бесконечно малого приращения этой функции.

Пример. Пусть функция у = х² есть площадь квадрата, сторона которого равна х (рис.1). Если стороне х дать приращение Dх, то новое ее значение станет х + Dх и, следовательно, пло­щадь у квадрата получит приращение

Dу = (х + Dх)² - х², или D у = 2хDх + (Dх)².

Первое слагаемое суммы, стоящей в правой час­ти последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции при Dx ®0. Поэтому dy = 2хDх.

Рис. 1

На рисунке приращение D у функции у изображено площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал dy функции изобража­ется площадью заштрихованной части без площади маленького квадра­та, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Из определения дифференциала непосредственно следует: дифференциал функции отличается от приращения этой функции на величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной. Этим обстоятельством часто пользуются при приближенных вычислениях.

Пример. Пусть у = х³ - х² + 2х + 3. Найти Dy и dy при значении х = 1 и сравнить их между собой в трех случаях: а) Dх = 1; б) Dх = 0,1 и в) Dх = 0,01.

Имеем Dy = ((х + Dх)³ – (х + Dх)² + 2 (х + Dх) + 3) - (х³ -х²+2х + 3). Производя алгебраические вычисления, получим

Dу = (3х² – 2x + 2)D х + (3 х - 1)(D х)² + (Dx)³.

Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции. Следовательно, dy = (3х² - 2х + 2)D х. Полагая х = 1, получим следующую таблицу:

D x	D y	dy	(dy/Dy)×100%
0.1	0.321	0.3
0.01	0.030201	0.03

Отсюда ясно видно, что доля дифференциала dy в приращении Dу стре­мится к 100%, если D х ® 0.