Неопределенные интегралы

Обозначим через f(х) производную функции F(x). Будем считать функцию f(х) заданной, а функцию F(х) искомой:

(6)

dF(x)=f(x)dx (7)

Всякая функция F(x), удовлетворяющая (7), называется первооб­разной функцией от f(х). Если F(х) есть первообразная от f (х), то F(x)+C, где С - любая постоянная, тоже будет первообразной от f (х). Действительно, так как производная постоянного равна нулю, то производная от F(x)+C равна производной от F(x), то есть f(х): [ F(x) +C]’=[ F(x) ]’= f(x).

Можно показать, что если F(x) есть какая-либо первообразная от f(х), то функция F(x)+C представляет собой общее выраже­ние всех первообразных от f(х). Общее выражение всех первообразных от f(х) называют неопре­деленным интегралом от f(х) и обозначают:

ò f(x)dx = F(x) + C (8)

Функция f(х) называется подынтегральной функцией, a f(х)dx- подынтегральным выражением.

Из определения следует, что производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал неопре­деленного интеграла равен подынтегральному выражению.

В самом деле, из определения интеграла следует, что если: , то

Отсюда следует:

Последнее равенство показывает, что интегрирование и дифферен­цирование представляют собою обратные действия. Точно так же:

Всякой формуле дифференциального исчисления F’(x) = f(x); dF(x) = f(x)dx соответствует формула интегрального исчисления: ò f(x)dx=F(x) +C

Таблица основных интегралов.

Таблица является обращением таблицы основных производных:

, или

Положив т -1 = п, находим (при п ¹ -1):

1.

2. ;

3. ; ;

Если а = е (основанию натуральных логарифмов), то:

3а.

4. d sin х = cos x dx, òò cos x dx = sin x+ С

5. d cos x = - sin x dx, ò sin x dx = - cos x + С

6. ,

7. ,