Интерполяция

Решение многих задач связано с рассмотрением пропорциональных величин. Хотя пропорциональная зависимость встречается очень часто, все же огромное число зависимостей, с которыми приходится иметь дело в практике, не подчиняется закону пропорциональности. Тем более важно отметить, что даже для таких величин схема пропорциональ­ного расчета не теряет значения.

Если рассматривать измене­ния непропорциональных величин внутри некоторых тесных пределов, то эти изменения будут практически пропорциональны. Поясним это примером. Плотность раствора и его массовая доля (или концентрация) в широких пределах не про­порциональны. Плотности раствора уксусной кислоты = 1,0012 г/см³ соответствует массовая доля 2%; плотности раствора уксусной кислоты = 1,0098 г/см³ соответствует массовая доля 8%; плотности раствора уксусной кислоты = 1,0154 г/см³ соответствует массовая доля 12%;и так далее. Отношение плотностей, как видим, не равно отношению соответствующих массовых долей (? докажите расчетом?). Но отношение изменений плотности к изменений массовой доли во взятых нами пределах практи­чески пропорционально (? докажите расчетом?).

Таким образом, изменение плотности пропорционально изменению массовой доли, если величины послед­них брать с точностью до первого десятичного знака. Если же брать два десятичных знака, то обнаружится небольшое отклонение от пропорциональности. Но можно добиться, чтобы и в третьем знаке не было никакого отклонения от пропорциональности; для этого нужно рассматривать изменения в еще более узких пределах (1%-0,9997; 4%-1,0041; 6% 1,0069).

Практически мы всегда учитываем только определенное количество десятичных знаков (три, четыре, редко пять). Вот почему мы можем малые изменения считать величинами пропорциональными. То же явление имеет место в огромнейшем большинстве других слу­чаев. Благодаря этому оказывается возможным по таблице или графику (рассмотрим позже), содержа­щей сравнительно небольшое число данных, находить и такие резуль­таты, которых в таблице нет, как бы «читая между строк» в ней.

Описанный выше способ вычисления носит название интерполяции (или интерполирования). Латинское слово «интерполяция» в переводе означает «вставка внутрь». В математике интерполяцией называется всякий способ, с помощью которого по таблице, содержащей некото­рые числовые данные, можно найти промежуточные результаты, кото­рые непосредственно не даны в таблице. Рассмотренный нами про­стейший способ интерполяции называется линейной интерполяцией. Интерполяция широко применяется при пользовании таблицами самого разнообразного содержания.

На основе имеющихся данных составьте таблицу и рассчитайте промежуточные данные с точностью до 1%. Можем ли мы рассчитать плотность 1,5% и 2,55% растворов, приведите письменные доказательства.