Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов

Один из на­илучших методов получения эмпирических формул и проведения усредненной линии через экспериментальные точки - это способ наименьших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаем линейной зависимости двух величин.

Пусть мы хотим установить зависимость между двумя вели­чинами х и у (например, температурой и скоростью растворения оксида металла в кислоте). Производим соответствую­щие измерения (например, п измерений) и результаты сопостав­ляем в таблице:

х	х1	х2	х3	...	хп
у	у1	У2	у3	...	уп

Будем рассматривать х и у как прямоугольные координаты точек на плоскости. Предположим, что точки с соответствующи­ми координатами, взятыми из нашей таблицы, почти лежат на некоторой прямой линии. Естественно в этом случае считать, что между х и у существует приближенная линейная зависимость, т. е. что у есть линейная функция от х, выражающаяся формулой

у = ах + b, (1)

где а и b — некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Формула (1) может быть представлена в таком виде:

ax + b - у = 0 (2)

Так как точки (х, у) только приблизительно лежат на прямой, то формулы (1) и (2) приближенные. Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо х и у их значения х₁, у₁; х₂, у₂; …; х_n, у_n, взятые из предыдущей таблицы, мы получим равенства:

(3)

где e₁,e₂, …, e_n (4)

— некоторые числа, вообще говоря, не равные нулю, которые мы будем называть погрешностями.

Требуется подобрать коэффициенты а и b таким образом, что­бы эти погрешности были по возможности малыми по абсолют­ной величине. Способ наименьших квадратов состоит в сле­дующем: нужно подобрать коэффициенты а и b так, чтобы сум­ма квадратов погрешностей была возможно меньшей, т. е. потребуем, чтобы сумма

(5)

была наименьшей (?а почему квадраты, как вы думаете??). Если эта минимальная сумма квадратов ока­жется малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по аб­солютной величине.

Заменяя в выражении (5) числа (4) их значениями из ра­венств (3), получим такую величину:

(6)

В формуле (6) числа х₁, у₁; х₂, у₂; …; х_n, у_n, получены в ре­зультате измерений и рассматриваются как данные, коэффициенты а и b — неизвестные величины, подлежащие определе­нию.

Итак, U можно рассматривать как функцию от двух перемен­ных а и b. Подберем коэффициенты а и b так, чтобы функция U получила возможно меньшее значение и стремилась к нулю.

Производя обычные алгебраические преобразования, получаем:

или, введя сокращенные обозначения, имеем следующую систему уравнений:

Из этой системы мы находим а и b, а затем подставляем их в нашу эмпирическую формулу

у = ax + b.

Пример. Пусть результаты измерений величин х и у и итоги обра­ботки их занесены в следующую таблицу:

i	xi	yi	x i 2	xiyi
	-2	0.5		-1.0
		1.5		1.5
S		8.0		16.5

Предположим: у = ax + b.

Нормальная система (7) имеет вид:

Решая эти уравнения, получим: а = 0,425, b = 1,175. Отсюда y=0.425x+1.175

Задания для самостоятельной работы.

Результаты измерения величин х и у даются следующей таблицей:

X
Y					-60	-100

Предпологая, что между х и у существует линейная зависимость способом наименьших квадратов определите коэффициенты a и b.

х	2,29	2,77	4,47	4,36			7,42		9,27
у	1,08	1,86	2,88			5,51		7,62	8,63	9,47
х	1,08	1,5	2,88			5,51		7,62	8,25	9,47
у	1,81	2,77	3,97	2,97	3,93	6,56	7,01	7,32	9,27	8,99
х		17,9		33,9		56,2	66,5
у
х		17,9		33,9		56,2		65,6	68,5
у
х	10,8		86,4	135,6		309,662
у	779,0055		861,461			1532,012	1576,32	1803,279	1357,066	1562,848
х		17,9		33,9	42,9	49,3		65,6	60,1	65,6
у
х		17,9		33,9	42,9	49,3		65,6	60,1	65,6
у	-1,41	-2,74	-5,11	-6,06	-8,52	-10,05	-11,05	-13,2	-12,58	-14,05
х	-14,1	-49,046	-153,3	-205,434	-365,508	-495,465	-574,6	-665	-756,058	-841
у	-0,188	-0,1894	-0,19462	-0,1961	-0,1986	-0,20385	-0,20689	-0,20821	-0,21236	-0,21418

Параболу у=х² на участке 2£ х £4 приближенно замените прямой Y= kх+b так, чтобы средняя квадратичная ошибка была наименьшей.

Таблица разновариантных заданий для работы на практическом занятии: