Следствие центральной предельной теоремы

Центральная теорема Мoавра-Лапласcа. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р и не появляется с вероятностью q, тогда утверждается, что при больших n:

где m - число наступлений события А.

Пример. Дисперсия каждой из 5100 независимых случайных величин равна 6. Найти вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от своего математического ожидания не более чем на 0,07.

Решение. х_k – независимые случайные величины,

k = 5100, у_n - среднее арифметическое этих случайных величин

Необходимо определить вероятность следующего неравенства

то есть

Имеем

Раскроем последнее неравенство

Вычислим величину

Приведем последнее неравенство к виду удобному для использования центральной предельной теоремы

Итак, имеем

Пример. Какое число опытов нужно провести, чтобы с вероятностью 0,98 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности события 0,33 не более, чем на 0,15.

Решение. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с постоянной вероятностью р = 0,33 и не появляется с вероятностью q = 0,67. m - число появлений события А в n испытаниях.

- частота появления события А. По условию задачи можно записать

Требуется определить число испытаний n.

Приведем неравенство

к виду α m β, удобному для использования интегральной теоремы М.-Лапласа.

К последнему неравенству применим интегральную теорему М.-Лапласcа