Характеристики положения

(математическое ожидание, мода, медиана)

Важную роль из характеристик данного рода играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют средним значением случайной величины.

Определение. Пусть задана дискретная случайная величина X, возможные значения которой х₁, х₂,..., х_n и соответствующие вероятности p₁, р₂,… р_n. Число

называется математическим ожиданием дискретной величины X.

Математическое ожидание есть неслучайная величина.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, называется число

где f(x) – плотность распределения вероятностей.

Пример. Пусть задана случайная величина Х своим рядом распределения.

Х
Р

Определить математическое ожидание случайной величины X.

Свойства математического ожидания

1⁰. Математическое ожидание постоянной, есть сама постоянная

М(с) = с

2 ⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

М(с×Х) = с×М(Х)

Определение. Две дискретные случайные величины называются независимыми, если независимы любые два события вида (Х = х_i и Y = y_i), где х_i и y_i – произвольные значения случайной величины Х и Y.

Определение. Произведением независимых дискретных случайных величин Х и Y называется случайная величина X×Y возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y, а вероятности равны произведению соответствующих возможных значений вероятностей сомножителей.

Определение. Степенью дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения

Х	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

будем называть случайную величину X^k, имеющую ряд распределения

Х	x1k	x2k	x3k	…	xnk
P	p1	p2	p3	…	pn

Легко заметить, что Х×Х Х²

Пример. Заданы случайные величины Х и Y своими рядами распределения

X	x1	x2		Y	y1	y2
P	p1	p2		G	g1	g2

Ряд распределения случайной величины X×Y будет иметь вид

X×Y	x1×y1	x2×y1	x1×y2	x2×y2
	p1×g1	p2×g1	p1×g2	p2×g2

3 ⁰. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин

M(X×Y) == M(X)×M(Y)

Определение. Суммой двух дискретных независимых случайных величин Х и Y, называется случайная величина Х + Y, возможные значения которой равны сумме каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений Х + Y равны произведениям вероятностей слагаемых.

Пусть случайные величины Х и Y заданы своими рядами распределения

4 ⁰. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин

М(Х +Y) = М(Х) + M(Y)

Пример. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цели р₁ = 0,4, р₂ = 0,3, р₃ = 0,6. Найти математические ожидания общего числа попадания.

Решение. Пусть Х - число попаданий при первом выстреле, Y - при втором, Z - при третьем. Ряды распределений данных случайных величин имеют вид

X				Y				Z
	0,4	0,6			0,3	0,7			0,6	0,4
М(Х) = 0,4		M(Y) = 0,3		M(Z) = 0,6

Случайная величина Т - общее число попаданий при всех выстрелах

T = X +Y + Z

М(Т) = М(Х + Y + Z) == М(Х) + M(Y) + M(Z) == 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3

Теорема 1. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании

М(Х) = n×р

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки р = 0,6. Определить М(Х) случайной величины Х - числа попаданий при 10 выстрелах.

Решение. n = 10, р = 0,6

По теореме 1 имеем М(Х) = n×р = 6

5⁰. Математическое ожидание отклонения случайной величины от своего математического ожидания равна нулю.

М[X – М(X)] = 0

Определение. Модой M₀ дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.

Определение. Модой непрерывной случайной величины называется такое значение, при котором плотность распределения имеет максимум.

Определение. Медианой Me случайной величины называется такое значение, для которого

Р(Х < Me) = Р(Х > Me)

С геометрической точки зрения, медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам.

Характеристики рассеивания

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Отсюда следует, что математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. Поэтому вводятся другие числовые характеристики, а именно дисперсия и среднеквадратичное отношение. С помощью этих характеристик можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания.

Определение. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания называется дисперсией случайной величины.

D(X) = М[Х - М(Х)]²

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины

Пример. Пусть задана случайная величина Х своим рядом распределения

Х
Р	0,3	0,5	0,2

Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение.

М(Х) = 0,3×1 + 0,5×2 + 0,2×5 = 2,3

D(Х) = (1 - 2,3)²×0,3 + (2 - 2,3)²×0,5 + (5 - 2,3)²×0,2 = 2,01

Теорема 2. Дисперсия случайной величины X равняется разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания случайной величины X.

D(X) = М(Х²) - М²(Х)

Свойства дисперсии

1⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

2⁰. Дисперсия постоянной величины равна нулю

D(c) = 0

3 ⁰. Постоянную можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат

D(c×X) = c² ×D(X)

4 ⁰. Дисперсия разности двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(X - У) = D(X) + D(Y)

5 ⁰. D(X×Y) = D(X)×D(Y) + M²(X)×D(Y) + M²(Y)×D(X)

Теорема 3. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Дисперсия числа наступлений события А в n независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании

D(X) = n×p×q

Пример. Произведено 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно 0,6. Найти дисперсию числа появлений события А в этих испытаниях.

Решение:

n = 10 р == 0,6 q = 0,4

D(X) = n×p×q = 10×0,6×0,4 = 2,4

Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют корень квадратный из дисперсии. Обозначают ,

Пример. Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на интервале (1,5). Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение. Так как Х распределена равномерно, то плотность распределения вероятности будет иметь вид

D(X) = М(Х²) - М²(Х)=

=