Задание 7. Вычислить пределы последовательностей

Вычислить пределы последовательностей.

Пример 1 .

Решение Преобразуем выражение под знаком предела по формулам

,

.

Тогда

[разделим числитель и знаменатель на ]

.

Здесь мы воспользовались тем, что , и арифметическими свойствами пределов.

Примечание В дальнейшем при вычислении подобных пределов можно использовать правило: при предел отношения многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях n.

Пример 2 .

Решение Умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное выражение, т. е. на . Получим

[разделим числитель и знаменатель на n ]

.

Пример 3 .

Решение Умножим и разделим выражение под знаком предела на неполный квадрат соответствующей суммы, т. е. на

.

Получим

[разделим числитель и знаменатель на ] .

Пример 4 .

Решение Умножим и разделим выражение под знаком предела на

.

Получим

.

Здесь мы воспользовались тем, что старшая степень числителя (5) больше старшей степени знаменателя (4,5).

Пример 5 .

Решение Воспользуемся теоремой о промежуточной последовательности и табличными пределами (Приложение А):

, .

Докажем, что данный предел тоже равен 1. Воспользуемся оценками

,

.

Так как , то .

Пример 6 .

Решение Докажем, что этот предел равен 3. Действительно, для всех выполняются неравенства

.

Тогда, извлекая корни степени п из всех частей неравенства, получим

.

Так как , то .

Пример 7 .

Решение Заметим, что для любого натурального

.

Тогда имеем

.

Так как , то .