Задание 1. Используя метод математической индукции, доказать, что верно следующее утверждение

Используя метод математической индукции, доказать, что верно следующее утверждение.

Пример 1 .

Решение

1 При равенство верно, так как .

2 Допустим, что равенство верно при , т. е.

.

3 Докажем, что равенство верно при .

Рассмотрим

.

Это означает, что при равенство верно. В силу принципа математической индукции, утверждение верно для .

Пример 2 , .

Решение

1 Проверим утверждение при : .

Умножив обе части неравенства на , получим равносильное неравенство

, т. е. .

Так как последнее неравенство верно, то при данное утверждение верно.

2 Допустим, что неравенство верно при , т. е.

(1)

3 Докажем, что неравенство верно при , т. е. докажем, что

.

Прибавим к обеим частям неравенства (1), получим

Утверждение доказано для , а в силу принципа математической индукции, и для .

Пример 3 кратно 133, .

Решение

1 При утверждение верно, так как делится на 133.

2 Допустим, что утверждение верно при , т. е. что кратно 133.

3 Докажем, что утверждение верно при , т. е. что

кратно 133.

Преобразуем

.

Первое слагаемое кратно 133 по предположению, второе, очевидно, кратно 133. Следовательно, сумма кратна 133. Утверждение доказано.