Задание 18. Исследовать функцию и построить ее график

Исследовать функцию и построить ее график.

Пример 1 .

Решение

1) Область определения функции .

Так как , то функция является нечетной. Функция не является периодической.

2) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью : . Тогда . Отсюда .

С осью : . Тогда . Получили точку .

Найдем промежутки знакопостоянства, решив неравенства и

. Получим:

при ,

при .

3) Найдем асимптоты графика функции.

Так как и , то прямые и – вертикальные асимптоты.

, .

Примечание При построении графика функции можно использовать его симметрию относительно начала координат, поэтому односторонние пределы достаточно вычислить только в точке .

Так как , а , то наклонных и горизонтальных асимптот нет.

4) Исследуем функцию на монотонность и найдем точки экстремума. Для этого вычислим производную функции:

.

, если .

Исследуем знак . Получим:

возрастает на и ,

убывает на , и на .

– точка максимума, – точка минимума.

.

5) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба.

.

, если или .

Исследуем знак . Получим:

выпукла вниз на , , ,

выпукла вверх на , , .

и – точки перегиба, , .

6) Изобразим график данной функции (рисунок 3).

Рисунок 3 − График функции .

Пример 2 .

Решение

1) Найдем область определения:

и , т.е. .

Получили .

Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то не является ни четной, ни нечетной. Не является периодической.

2) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью : , т. е. . Уравнение не имеет корней.

С осью : . Но .

Значит, точек пересечения с осями координат нет.

Найдем промежутки знакопостоянства. Получим:

при , при .

3) Для нахождения вертикальных асимптот исследуем поведение функции в точках или .

,

.

Значит, прямая является вертикальной асимптотой.

4) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума.

.

, если , .

Исследуем знак . Получим:

возрастает на ,

убывает на и .

– точка минимума, .

5) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба.

.

, если , .

Исследуем знак . Получим:

выпукла вверх на и ,

выпукла вниз на .

– точка перегиба, .

6) Изобразим график данной функции (рисунок 4).

Рисунок 4 − График функции .

Литература

1 Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – М.: Наука, 1988. – 816 с.

2 Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов / Л. Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989. – 734 с.

3 Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: учебное пособие для вузов / Л. Д. Кудрявцев [и др.]. – М.: Наука, 1984. – 592 с.

4 Справочное пособие по математическому анализу. Введение в анализ, производная, интеграл: учебное пособие для вузов / И. И. Ляшко [и др.]. – Киев.: «Вища школа», 1984. – 456 с.