Задание 6. Пример 1 Пользуясь теоремой о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность

Пример 1 Пользуясь теоремой о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, доказать сходимость следующей последовательности:

.

Решение Последовательность является бесконечно малой, так как

(действительно, в качестве можно взять число ).

Так как , то последовательность – ограничена.

Так как последовательность представляет собой произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, то она сходится.

Пример 2 Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности.

, где – целые неотрицательные числа, не превосходящие 9.

Решение Так как , то , т. е. данная последовательность возрастает.

Докажем теперь, что она ограничена сверху.

.

Итак, . Значит, ограничена сверху.

По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, сходится.