Задание 5. Пользуясь теоремой о пределе подпоследовательности, доказать расходимость данной последовательности

Пользуясь теоремой о пределе подпоследовательности, доказать расходимость данной последовательности.

Пример 1 .

Указание Известно, что если последовательность имеет предел, то все ее подпоследовательности имеют тот же предел. Следовательно, для доказательства расходимости достаточно найти две подпоследовательности, имеющие различные пределы, или хотя бы одну подпоследовательность, не имеющую конечного предела.

Решение Рассмотрим две подпоследовательности (при четных и нечетных номерах n).

Если n – четное, то .

Если n – нечетное, то .

Так как данная последовательность имеет две подпоследовательности, имеющие различные пределы, то она расходится.

Пример 2 .

Решение Возьмем , тогда . Но тогда . Получили подпоследовательность, которая не является ограниченной. Вследствие теоремы об ограниченности сходящейся последовательности, неограниченная последовательность расходится. Следовательно, и – расходится.

Пример 3 .

Решение Возьмем . Тогда .

Теперь возьмем , тогда

.

Первая подпоследовательность состоит из единиц, а значит, сходится к 1. Так как при , то вторая подпоследовательность сходится к 0.

Следовательно, данная последовательность расходится.