Задание 11. Исследовать данные функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип

Исследовать данные функции на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип.

Пример 1 .

Решение Так как , то данную функцию можно записать следующим образом:

.

Данная функция не определена в точках и , значит, эти точки являются точками разрыва. Определим их тип.

Найдем односторонние пределы:

, .

Так как в точке существуют односторонние пределы, но они различны, то – точка разрыва I рода.

Так как , то – точка разрыва II рода.

Исследуем теперь функцию на непрерывность в точке .

, .

Поскольку в точке односторонние пределы существуют и равны, то существует и равен 1,5. А так как предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке .

Если , то данная функция непрерывна по определению непрерывной функции (в каждой такой точке предел функции совпадает со значением функции в этой точке).

Построим схематически график функции (рисунок 1).

Рисунок 1 − График функции .

Пример 2 .

Решение Найдем точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Решив уравнение , получим , .

Так как функция не определена в этих точках, то и – точки разрыва. Определим их тип. Вычислим пределы функции в этих точках.

Так как существует конечный предел функции в точке , то – точка устранимого разрыва.

Так как , то – точка разрыва II рода.

В остальных точках данная функция непрерывна как отношение непрерывных функций.

Пример 3 .

Решение Данная функция не определена в точке , значит, она разрывна в этой точке. Рассмотрим ее односторонние пределы в этой точке.

,

.

Односторонние пределы существуют, но различны. Значит, – точка разрыва I рода.

Поскольку при знаменатель не обращается в ноль, то в остальных точках данная функция непрерывна как отношение непрерывных функций.

Пример 4 .

Решение Данная функция принимает всего три значения: 0, 1 и –1 – в зависимости от знака выражения . Поэтому запишем ее в следующем виде:

, т. е. .

Рассмотрим, например точку (рисунок 2).

, .

Рисунок 2 − График функции .

Значит, – точка разрыва I рода.

Аналогично доказывается, что – тоже точка разрыва I рода.

В остальных точках функция является кусочно-постоянной, а значит, непрерывна.