Задание 3. Доказать ограниченность множества А

Доказать ограниченность множества А. Найти его точные верхнюю и нижнюю грани, если .

Решение Так как выполняется неравенство ,

то множество А является ограниченным.

Запишем каждый элемент множества А в виде:

.

Таким образом, .

Очевидно, множество А имеет минимальный элемент . Тогда

.

Максимального элемента множество А не имеет. Но поскольку множество А ограничено, то оно имеет точную верхнюю грань.

Докажем, что . Действительно, имеем

.

Значит, число является верхней гранью.

Возьмем теперь и покажем, что число не является верхней гранью множества А, т. е. что такое, что .

Найдем какие-либо решения этого неравенства. Оно равносильно неравенству . Но если , то , . Отсюда

, т. е. .

Итак, при элементы множества А оказываются больше, чем . Значит, число не является верхней гранью множества А. Тем самым доказано, что .