С чего начинать обучение математике в школе?

В последнее время в педагогической психологии распространилось мнение, что начинать обучение математике следует с операции измерения неразделенного объекта. Измерение считается той исходной операцией, опираясь на которую можно вводить понятие числа и даже натурального. По нашему мнению, это начинание наталкивается на трудности логического, психологического и педагогического характера. Измерение — сложная составная операция, подразумевающая знания целого ряда более простых операций. Измерить — значит установить отношение данного объекта с условно взятым объектом, выступающим в качестве единицы измерения. Этоотношение характеризуется кратностью (сколько раз выбранная единица помещается в данном объекте), которая выражается числом, или, что то же самое, каким-нибудь набором фишек. Следовательно, измерение означает сведение непрерывного объекта к дискретному объекту (набору фишек).

Для осуществления этой сложной процедуры от ребенка, кроме знания операции сравнения дискретных наборов, требуется умение и понимание перехода от непрерывного объекта к дискретному, понимание эквивалентности замены сравнения объектов сравнением соответствующих наборов, и, в добавление ко всему, ребенок не должен терять из виду первоначальную проблему, что само уже требует довольно высокого умственного развития.

Если предположить, что ребенок действительно хорошо ориентируется 52

в свойствах дискретного мира, то тогда сведение непрерывного объекта как неизвестного к дискретномукак к известному дидактически оправдано. Но, к сожалению, это не так, и поэтому первоочередной задачей является обучение ребенка измерению дискретных объектов, и только после сформирования элементарного понятия натурального числа можно переходить к измерению непрерывного объекта.

Ребенок 6—7-летнего возраста, даже умеющий считать, складывать и вычитать числа имеет очень смутное представление о количестве. Он не знает, какие действия над множествами меняют количество и какие не изменяют его, инвариантом каких трансформаций множества является количество. Как известно, если разбросать множество, оно кажется ребенку большим, т. е. количество меняется (феномен Пиаже). Даже приписывая двум множествам одинаковые числа, ребенок может сказать, что одно из них больше по количеству. Количество у него не отделено от других параметров множества. Следовательно, прежде чем вводить операцию измерения связного (неразделенного) объекта, надо ознакомить ребенка с количеством.

По-видимому, обучение надо начинать с того, что наиболее естественно дпя ребенка, и опираться при этом на те свойства окружающего мира, которые он уже начинает различать. Обучение надо начинать там, где ребенок наглядно видитэлемент. С определенного возраста ребенок видит отдельные вещи, различает отдельные предметы во множестве предметов. Это и есть та естественная основа, опираясь на которую мы начинаем обучение дискретной математике.

Процедура, эквивалентная измерению, может осуществляться на наборах предметов. Мы достигаем этого, предлагая детям считать множества наборами (по три, по пять). Наборы содержат одно и тоже количество одинаковых количеств предметов и выделяются во множестве конфигурацией и расположением. Обучение «наборному» множеству имеет дополнительную познавательную ценность, так как ребенок естественно приходит к различению целого и части. Сам набор есть один объект, единое целое, и при этом в нем четко видны его части, что весьма трудно увидеть в других ситуациях.

При измерении множества наборами отпадает необходимость использования специальных фишек, так как сам по себе набор — это новая единица счета, единица измерения. Ребенок быстро и безболезненно усваивает процедуру измерения, оставаясь все время на наглядном уровне. Умея считать только до пяти, он может выразить количество до двадцати пяти: на вопрос «сколько?» он отвечает «пять пятерок». Одно и то же множество можно считать разными наборами, измерять разными единицами. Это приучает к условности выбора единицы для выражения одной и той же вещи (количества), и таким образом количество выделяется как свойство данного множества. При этом особенно важно, что количество не отождествляется с записью количества, число не отождествляется с его выражением (десятичная система вводится как один из способов выражения числа).

Когда ребенок хорошо освоится со счетом разными наборами, можно перейти к различным измерениям. Тут возникает трудность, состоящая в том, что ребенок не видит возможности разбиения связного объекта на отдельные части. Преодолевать эту трудность не следует сразу на всех возможных измерениях (это даже будет мешать ему), а надо выбирать один тип измерения, на котором наиболее наглядно видна эта возможность и который не требует дополнительных, сложных для ребенка приборов (как, например, весы).

Таким является, например, измерение длины. Научить измерять длину фактически значит научить видеть возможность представления данного отрезка как системы маленьких отрезков. Важно то, что ребенок поймет возможность дробления целого на части.

Таким образом, освоение измерения непрерывных объектов на первоначальном этапе обучения математике не дает никаких дополнительных познавательных преимуществ по сравнению с изучением дискретных объектов, множеств. Зато оно сопровождается дополнительными трудностями, преодоление которых лучше отложи до приобретения определенных умственных навыков. Вместе с тем эти умственные навыки можно беспрепятственно развить, изучая понятие «количество» как наиболее естественное основополагающее, но вместе с тем достаточно элементарное свойство окружающего мира.

Г.Д. Беришвили, И.В. Котетишвили. С чего начинать обучение математике в школе? Вопросы психологии, 1978, № 3, с. 116-117.