Математика уже в детском саду

<..> Понятие равночисленности множества и тесно связанное с ним понятие взаимно-однозначного соответствия углубляются путем осуществления отображения множеств. Это находит свое выражение в составлении ребенком равночисленных множеств путем установления соответствия между отдельными элементами множества, которое при соотнесении один к одному служит для него образцом и имеющимися предметами (изображениями предметов, специальными счетными бляшками и т. п.).

Установление соответствия между предметами и элементами множества, предназначаемого для отображения, может осуществляться различным образом: играя ребенок ставит в соответствие определенному количеству кошек карточки с нарисованными на них мисочками; подбирает блюдечки к имеющимся чашкам. Дети младшего возраста устанавливают такого рода соответствие путем приложения, образования пар, тогда как более старшие способны уже зрительно оценить, что если чашек четыре, то надо снять с полки сразу четыре блюдца.

Воссоздание численности множеств возможно только тогда, когда ребенок умеет правильно пересчитывать предметы и выражать число элементов с помощью числительного. Операция воссоздания численности множества состоит в образовании множества, равночисленного данному, в той ситуации, когда предназначаемое для отображения множество удалено из поля зрения ребенка после того, как были пересчитаны его элементы. Запомнив число элементов убранного множества ребенок должен составить множество, имеющее такое же число элементов.

Путем установления соответствия между элементами двух множеств можно сравнивать не только равночисленные множества. Такой метод сравнения способствует формированию не только понятия равночисленных множеств, но и понятия неравночисленных множеств, которые словесно характеризуются параметрами: меньше, чем; больше, чем. Ребенок постепенно начинает замечать, что «если здесь больше, чем там», то, значит, «там меньше, чем здесь». Если число элементов одного множества отличается от числа элементов другого множества не более чем на три элемента, то ребенок может заметить, что, например, в одном множестве на один элемент (или на два, на три) больше, чем в другом, либо на один (или на два, три) меньше, чем в другом. И снова вывод: если здесь на один (на два, на три) больше, чем там, то, значит, там на один (на два, на три) меньше, чем здесь. Речь идет не о том, чтобы ребенок каждый раз повторял и то и другое предложение. Важно, чтобы он полностью отдавал себе отчет в существовании этой зависимости.

Без осознания этого соотношения невозможно осуществление упорядочения множеств по числу их элементов. Множества, упорядоченные по их возрастающей численности (от I до 10) образуют упорядоченную систему множеств, для которой характерно наличие двух количественных соотношений: множество содержит на один элемент больше, чем предшествующее, и на один элемент меньше, чем последующее. Так, например, пятиэлементное множество содержит на один элемент больше, чем четырехэлементное, и на один элемент меньше, чем шестиэлементное множество.

В связи с понятием системы множеств необходимо еще осветить вопрос о месте данного множества в упорядоченной системе множеств. Это место определяется порядковым числительным. Предположим, что дети рассортировали кукол по цвету их бантиков и выделили, например, пять множеств кукол. После этого они упорядочили полученные множества кукол по числу их элементов. Оказалось, что у них имеется одна кукла с красным бантиком, две с голубыми, три с зелеными и т.п. В этом случае множество, содержащее пять кукол, — на пятом месте. Третья группа кукол следует за второй, но предшествует четвертой и т. п.

Шестилетний ребенок, имеющий опыт в установлении такого рода соотношений (путем упорядочения предметов по возрастанию их величины, по увеличению их массы), уже психологически подготовлен к пониманию того, что место каждого данного числа в натуральном ряду чисел определяется порядковым числительным и двумя соотношениями: данное число на единицу больше, чем предыдущее, и на единицу меньше, чем последующее. Таким обратом формируется понятие натурального числа как кардинального числа, характеризующего мощность множества, и как порядкового числа.

Операции над множествами с логической точки зрения. Прежде чем перейти к рассмотрению операций над множествами, целесообразно проанализировать возможности формирования понятия множества в условиях детского сада. Оно начинается тогда, когда ребенок знакомится с окружающей обстановкой, с помещением, в котором играет, учится и трудится. Во многих ситуациях ребенок сталкивается с необходимостью классифицировать окружающие предметы, например, во время уборки игрушек, когда кладет их в указанное воспитательницей место: одних кукол сажает в креслица у столика, других укладывает в кроватки; маленькие машинки ставит на полку, большие — под полку или около нее; кубики убирает в ящик, стоящий у окна; фигурки геометрической мозаики складывает в коробку и т. д.

Дети еще не отдают себе отчета в том, что они классифицируют предметы по определенному качественному признаку (по внешнему виду, по названию и т.п.), однако их действия отвечают условию образования множеств, элементы которых характеризуются общим качественным признаком и образуют единое целое (собраны в определенном месте). И в то же время на этом этапе обучения еще ни разу не были произнесены какие-либо термины из области теории множеств. Правильно ли это? Безусловно. Не следует излишне рано начинать перегружать память ребенка такими терминами, как «элемент», «множество», «подмножество», содержание которых может быть полностью осознано только в школе. <…>