О натуральном ряде как системе чисел

В ходе исследования перед нами встал вопрос о том, как преобразуется чисто словесный стереотип называния числительных в представление о натуральном ряде как определенной системе чисел.

По мере овладения счетным действием появляется понимание того, что каждое последующее число больше предыдущего. Если не углублять этих знаний, то дети начинают определять отношения между большим и меньшим числом лишь по признаку его удаленности от начала ряда числительных. «6 больше потому, что оно дальше, а 5 ближе», — говорят обычно дети. Втаких случаях они усваивают лишь чисто внешние связи числительных — по смежности и только в прямом порядке. Это формирует у них своеобразное представление о ряде чисел в виде некоего «пространственного образа», где каждое последующее число оказывается стоящим впереди предыдущего.

Однако по мере того, как он усваивает отношения между смежными числами, особенно в обратном порядке, в его сознании происходит интересная перестройка. Главным для него становится последовательность чисел, т. е. время, хотя он по-прежнему еще пользуется пространственными терминами «впереди — сзади». Но теперь впередистоящим числом оказывается уже предыдущее число, а сзадистоящим последующее число. «Впереди 3. а сзади 4», — говорят дети.

Их представления о натуральном ряде чисел, когда последующее число воспринимается ими как впередистоящее, а предыдущее как находящееся сзади, мы условно назвали «пространственным образом натурального ряда». Тотже случай, когда в представлении детей начинает доминировать признак времени, т. е. последовательности

при назывании чисел, и «впереди» стоящим числом оказывается уже предыдущее (меньшее число), а «сзади» — последующее (большее) число, мы называем «временнымобразом натурального ряда».

Данные нашего исследования показали картину постепенной перестройки образа натурального ряда по мере все более глубокого осознания ребенком отношений между смежными числами не только в прямом, но и в обратном порядке.

Среди детей пяти лет 80% не могли назвать числа, следующие после заданного. Однако у 20% это знание уже было, что свидетельствовало о начале формировании у них «пространственного образа ряда. Среди шестилеток резко увеличивается количество детей, имеющих «пространственный образ». Но уже в этом возрасте у небольшой их части начинает доминировать последовательность чисел, т. е. временной признак: у ряда детей наблюдается еще смешанный характер представлений; в пределах первого пятка предыдущее число определяется ими как «впереди» стоящее, а последующее — как находящееся «сзади»; во втором же пятке мы видим обратную картину: впередистоящим числом оказывается последующее, а сзади — предыдущее, т. е. здесь продолжает доминировать признак пространственного определения чисел натурального ряда. Это значит, что обобщение совершается не сразу по отношению ко всем числам: ребенок уже понимает отношения в обратном порядке между числами первого пятка, но не знает еще этих отношений применительно к числам второго пятка.

«Пространственный образ» определения чисел сохраняется и среди первоклассников, хотя у них уже в значительной мере начинает доминировать признак последовательности чисел натурального ряда.

От чего же зависит такая перестройка в представлениях детей? Педагогический эксперимент показал, что по мере того как они усваивают отношения между смежными числами не только в прямом, но, главное. — в обратном порядке, признаком определения порядка чисел становилось время. «Пространственный образ» натурального ряда перестраивался во «временном образе». Опыт работы с пятилетними ребятами показал, что когда перед ними раскрывались отношения между смежными числами только в прямом порядке, то у 84% сформировался образ «пространственного» ряда. У шестилеток, которых мы знакомили с отношениями между смежными числами не только в прямом, но и в обратном порядке, начал формироваться «временной образ» натурального ряда.

Таким образом, при обучении необходимо одновременно раскрыть перед детьми отношения между смежными числами как в прямом, так и в обратном порядке (3 больше 2 на один, а 2 меньше 3 на один). Это полностью оправдалось в нашей опытной работе уже в средней группе и является условием правильного формирования представлений о натуральном ряде как о системе чисел.

Приведенные в статье данные позволяют сформулировать следующие основные выводы.

1. Представление о неопределенной множественности формируется у детей очень рано. Его основой служит повторяемость однородных предметов и однородность движений, производимых самим ребенком.

2. В дальнейшем происходит развитие представления о множестве как целостном единстве, состоящем из отдельных однородных элементов. В этом процессе

значительную роль играют различные анализаторы: зрительный и особенно двигательный. Взаимодействие руки и глаз во время восприятия множества является необходимым условием развития способов его зрительного анализа.

3. Способность различения множеств, а на их основе и формирование понятия числа развиваются в действиях детей с разнообразными множествами. Процесс формирования счета проходит ряд последовательных этапов. Его основой является сравнение множеств путем установления между ними взаимно-однозначного соответствия. Такое сравнение следует производить между разными множествами, в том числе и воспринимаемыми различными анализаторами. Важно научить ребенка не просто произносить числительные, а, считая элементы множеств, устанавливать их количество. Так, постепенно количественное число становится понятием о некотором классе равномощных между собой множеств. Обучение же называнию числительных в отрыве от практического счета формирует лишь цепь чисто словесных ассоциаций, не отражающих ни количественных, ни порядковых отношений между числами.

4. В педагогической практике уже на ранних этапах следует создавать основы для развития более высокого уровня счетного действия, обучая детей приемам наложения и приложения элементов множеств. При этом ребенок учится видеть равенство и неравенство совокупностей. Еще не обозначая их числительными, он практически различает, какое из множеств больше или меньше другого. При накоплении достаточно большого чувственного опыта становится возможнымпереход к счету элементов множества при помощи слов-числительных.

5. Особое значение при обучении счету приобретает сравнение множеств, выраженных смежными числами. Они наглядно раскрывают отношения между смежными числами в прямом и обратном порядке, учат определять разностные отношения между ними и способствуют формированию представления о натуральном ряде как определенной системе чисел.

А.М. Леушина. Формирование у детей начальных представлений о количестве. Советская педагогика, 1959, №8, с.116-126