Усвоение математических действий в дошкольном возрасте

Счет как способ опосредованного сопоставления совокупностей. Исследование проводилось с детьми в возрасте от 2 лет 6 мес. до 3 лет 6 мес. В отдельных сериях привлекались дети и старших возрастов — до 6 лет 6 мес.

Напомним, что счет вводился в следующей игровой ситуации: детей просили привезти крыши для домиков. При непосредственном сопоставлении дети на каждый домик клали по крыше. В ситуации «разрыва», когда домики и крыши находились в разных местах и непосредственное сопоставление оказывалось невозможным, средством его выполнения являлся счет (пересчет и отсчет). Все участвовавшие в эксперименте испытуемые умели осуществлять непосредственное сопоставление совокупностей предметов.

Обучение в первой серии экспериментов проводилось следующим образом. Экспериментатор показывает способ решения задачи, он говорит: «Нужно привезти крыши для домиков. Посмотри: сколько нужно крыш? Для этого посчитаем: сколько у нас домиков? Домиков — один, два, три. Значит, нужно привезти одну, две, три крыши». Идет к месту, где лежат крыши, и считает: «Одна, две, три». Отобранные крыши приносит и кладет на домики. После нескольких показов экспериментатор просит испытуемого проделать эти действия.

После обучения по этому способу действия детей характеризуются следующими особенностями:

1) дети пытаются выполнить непосредственное сопоставление, не прибегая к счету;

2) выполняя отдельные операции счета, они не связывают их друг с другом, соотносят с задачей опосредованного сопоставления.

Эти результаты позволяют предположить, что при данном способе обучения детей не выделяется специфика осваиваемой ими задачи, хотя ее выполнение и задавалось экспериментатором при показе. Специфика решаемой детьми задачи в том, что сопоставляемые совокупности предметов

разобщены в пространстве и усвоенная испытуемыми операция непосредственного сопоставления не могла быть осуществлена.

При обучении во второй серии экспериментов фиксировался момент разделения совокупностей предметов. Дети сначала строят домики, когда крыши лежат рядом с ними, затем крыши уносят в другое место, скажем, на окно. Дети в этом случае выполняют задание, как и в первой серии экспериментов. Экспериментатор обращает внимание испытуемых на то, что они правильно выполняют задание, когда крыши находятся рядом с ними, а когда крыши кладутся на окно, то они с заданием не справляются. Затем экспериментатор снова демонстрирует способ решения задачи, а испытуемые выполняют ее под непосредственным руководством экспериментатора. Но когда их просят выполнить задание самостоятельно, они действуют следующим образом.

Оля Ф. (3 года 6 мес.). «Сначала принесу все крыши сюда» — и переносит все крыши на стол.

Регина-С. (3 года). На столе стоят 4 домика. Подходит к окну, начинает отбирать крыши, кладет их обратно, возвращается к столу, смотрит, бежит к окну, берет крыши, снова подходит к столу, ставит 2 крыши, бежит к окну, приносит на стол еще одну, ставит, снова бежит и приносит еще одну.

Коля Б. (3 года 4 мес.). На столе стоят 3 домика. Переходя от стола к столу, он выполняет непосредственное сопоставление. На стол ставится 2 домика, и экспериментатор спрашивает «Сколько нужно привезти крыш?». Коля смотрит на кубики, показывает 2 пальца, везет машину к окну, отбирает 2 крыши и привозит их к домикам. Но когда на стол ставится 3 домика, крыши снова отбираются либо методом непосредственного сопоставления, либо наугад.

Иными словами, данные этой серии экспериментов показали, что дети начали учитывать невозможность осуществления в этой ситуации непосредственного сопоставления. Они пытаются как-то обойти эту ситуацию, но не прибегают для этого к счету, поскольку счет не выступил для них как средсгво решения данной задачи.

При обучении в третьей серии экспериментов был специально выделен счет как необходимое средство решения данной задачи, фиксировалась зависимость выполнения задачи от осуществления счета.

Обучение проходило следующим образом. Экспериментатор говорит: «Чтобы привезти крыш столько, сколько здесь домиков, нужно сначала посчитать домики, а потом отсчитать столько же крыш. Я не знаю, сколько взять крыш, потому что домики лежат здесь, а крыши — в другом месте. Но вот я посчитаю домики — один, два, три. Теперь я знаю, сколько нужно крыш». Спрашивает у ребенка: «Сколько?». Испытуемый: «Один, два, три». Экспериментатор: «Пойдем теперь к окну и возьмем крыши, мы знаем, что домиков у нас — один, два, три, значит, и крыш нужно — одну, две, три». Испытуемый отсчитывает, несет и ставит крыши на домики. Экспериментатор говорит: «Теперь сделали правильно». После совместного выполнения нескольких заданий экспериментатор просит ребенка выполнить очередное задание самостоятельно, помогая ему замечаниями типа: «Что нужно сделать, чтобы получилось правильно?».

После обучения в третьей серии экспериментов дети при выполнении данной

задачи начали прибегать к счету. Однако они еще не осознают связи пересчитанного числа предметов (домиков) с числом отсчитываемых предметов (крыш), а потому, осуществляя правильно пересчет, не используют полученное в результате число при отсчете предметов, т. е. отсчет выполняют неправильно. Анализ особенностей действий детей указывает на то, что они не понимают связи счета и считаемых совокупности предметов.

Эти особенности действий детей были учтены при проведении четвертой серии экспериментов. В этой серии для фиксации связи числа и обозначаемого им предмета число вводилось как имя этого предмета.

Обучение проводилось следующим образом. Экспериментатор: «Нужно привезти крыши для этих домиков. Давай назовем их. Вот это будет называться домик один, это — домик два, это — домик три. Вот это домики, а один, два, три — это имена домиков. Как зовут каждый домик? Какие у нас есть домики?». Испытуемые «Домик один, домик два, домик три». Экспериментатор: «А теперь давай отберем крыши. Вот крыша для домика один, вот — для домика два, вот - для домика три».

После первого занятия дети при подсказке со стороны экспериментатора правильно выполняли данное задание, а при самостоятельном выполнении задания действовали по-разному: одни дети стали выполнять задание правильно, другие сами к счету не прибегали, но при напоминании экспериментатора: «Посчитай, какие у тебя домики» - пересчет осуществляют правильно, но ошибаются при отсчитывании.

С этой группой детей проведена дополнительная серия экспериментов, задачей которых было выделить специфику числового ряда в отличие от предметного в ситуации разобщения сопоставленных совокупностей предметов.

Экспериментатор выделял «ситуацию разрыва» так, как это делалось в экспериментах второй серии, затем говорил: «Домики уже построены, и их нельзя взять с собой, когда едешь за крышами. А какие у нас домики?» Испытуемый: «Домики один, два, три». Экспериментатор просит испытуемого подойти к окну и спрашивает: «Ты видишь теперь домики?». Испытуемый: «Нет». Экспериментатор: «А знаешь, сколько осталось на столе домиков?». Испытуемый: «Один, два, три». Экспериментатор: «Вот видишь, ты знаешь, что на столе осталось один, два, три домика. А откуда ты знаешь?». Испытуемый: «Я посчитал». Экспериментатор: «Правильно, ты посчитал, когда стоял рядом со столом, и узнал, что там есть домики один, два, три. Подошел к окну, а домики остались на столе, но ты все равно знаешь, какие это домики?». Испытуемый: «Один, два, три». Экспериментатор: «Ты знаешь, для каких домиков отбирать крыши?». Испытуемый: «Для одного, двух, трех». Экспериментатор: «Отбери эти крыши».

Подобное объяснение и показ давались разным испытуемым с большими или меньшими подробностями и повторениями. Но все испытуемые в течение одного занятия перешли к самостоятельному выполнению задания. Таким образом, в этой серии обучения испытуемые усвоили поставленную учебную задачу. Мы coзнаем, однако, что использованные педагогические приемы далеки от совершенства, они, например, слишком словесны.

Оказалось, все стадии обучения, характеризующие разные серии экспериментов, начиная со второй, необходимы для усвоения данной учебной задачи.

При обучении новых групп испытуемых (15 человек от 2 лет 8 мес. до 3 лет 6 мес.) cpазу по типу экспериментов третьей и четвертой серии усвоение данной учебной задачи не произошло. Материал экспериментов позволяет зафиксировать следующие особенности ситуации усвоения, необходимой для использовании детьми счета как способа опосредованного сопоставления совокупностей предметов. Она должна обеспечить выделение и осознание детьми:

а) специфики данной задачи, невозможности решить ее усвоенным способом непосредственного сопоставления;

б) связи успешности решения данной задачи с осуществлением пересчета сопоставляемых совокупностей;

в) специфики операции счета как средства сопоставления совокупностей предметов. Это требует, во-первых, выделения тождества числового ряда и пересчитываемой совокупности предметов, во-вторых, различия числовых и предметных операций в решении данной задачи.

Счет как обобщенный способ опосредованного сопоставления. При анализе содержания обучения счету как средству сопоставления совокупностей предметов (например, в задании «Принеси для домиков крыши», см. разд. 1, гл. 2) говорилось, что такое обучение не приводит к усвоению счета как обобщенного способа сопоставления. Для этого счет должен быть включен в действие сопоставления совокупностей абстрактных объектов. Проведенные нами эксперименты показали, что переход к счету как средству сопоставления абстрактных совокупностей у детей 3—4 лет возможен в следующем случае:

1. Предъявляются две совокупности, кубиков: одни кубики, большего размера, называются домиками, другие — меньшего размера — крышами. Испытуемые после выполнения 2-го задания усваивают задачу: «Принеси столько крыш, сколько домиков».

2. Предъявляются две совокупности одинаковых по размеру кубиков. Одни кубики окрашены в один цвет (скажем, красный), другие — в другой (скажем, зеленый). Испытуемые решают задачу: «Принеси столько зеленых кубиков, сколько красных».

3. Предъявляются две совокупности ничем не отличающихся друг от друга кубиков. Испытуемые решают задачу: «Принеси с окна столько кубиков, сколько их лежит на столе».

4. Предъявляются две совокупности одинаковых палочек. Испытуемые решают задачу: «Принеси с окна столько палочек, сколько их на столе».

В результате обучения все испытуемые, решив то или иное количество задач, стали использовать счет для осуществления опосредованного сопоставления совокупностей любых объектов. Проведенное исследование показало, что пропуск того или иного этапа обучения вызывает у детей определенные трудности в выполнении действия счета. Этот вывод подтвердился и при белее массовом обследовании детей четвертого года жизни, проведенном в четырех детских садах Москвы.

И. И. Непомнящая. Усвоение математических действий в дошкольном возрасте. Психологический анализ обучения детей 3—7 лет (на материале математики). М.: Педагогика, 1983, с. 48-52.