Недостатки обучения счету

<...> Каким содержанием современная методика начальной арифметики наполняет понятие о единице? Понятие это не определяется и не разъясняется, a просто сначала показывают группу предметов и называют ее: «это много», потом берут отдельный предмет или отделяют его от группы предметов и говорят: «а это — один». Операция повторяется с разными предметами, и в результате слово «один»; начинает обозначать вообще «нечто отдельное». Соответственно и другие числа понимаются как совокупности отдельностей.

Признак отдельности вообще не составляетхарактеристики числа, в частности и числа «один»; он является признаком любого множества как отдельного от другого. Если бы число один получало характеристику только по признаку отдельности,

это была бы просто математическая ошибка. Но имеет ли «нечто отдельное», называемое словом «один», какие-нибудь другие признаки и притом именно количественные признаки? Числовые? Какие это признаки и открываются ли они ребенку при обучении его по современной методике начальной арифметики?

Чтобы экспериментально решить этот вопрос, мы построили ряд задач (с вариантами — более 20), в которых единицы не совладали с отдельными предметами. Эти задачи мы предложили 60 детям, успешно закончившим обучение в детских садах, где занятия по арифметике были поставлены очень хорошо.

Предварительно мы проверили знания и умения детей по программе. Знания и умения 30 детей намного превосходили требования программы. У 21 ребенка знания большей частью несколько превосходили программные, но «насколько больше, насколько меньше» одно из смежных чисел, они не знали. У 9 детей знания оказались посредственными. Кроме «насколько больше, меньше», некоторые изних могли указать состав числа только на предметах, а 4 совсем не могли его указать.

Эксперименты велись строго индивидуально. Приведем не все задачи, но достаточное количество, чтобы желающие могли их повторить и убедится и результатах.

Задача I. Из миски, наполненной рисом, предлагается отложить на стол в одну кучку 5 чайных ложек, а зачем отсыпать из этой кучки обратно в миску 4 ложки. Брать рис из миски было легко, а набрать полную ложку на кучки на столе — это требовало специальных предосторожностей. Результаты получились такие: лишь 28 (из 60) следили, чтобы ложка была полная, и правильно решали задачу.

32 не следили за полнотой мерки, отсыпали в миску неполные 4 ложки, и остаток у них получился значительно больше, чем полагалось. На вопрос, сколько ложек риса осталось на столе, 18 из этих 32, примериваяостаток «на глаз», говорили, что осталось 3 или 4 ложки, — они вообще не соотносили фактический остаток с тем, который должен был получиться; 10 детей, подняв голову вверх, вычислили (иногда помогая себе пальцами) и говорили: «Осталась одна ложка»; на вопрос: «Разве здесь осталась одна ложка?» — четверо повторяли: «Из 5 отнять 4, будет 1, значит, осталась 1 ложка»; остальные соглашались, что осталось больше, но в недоумении пожимали плечами; только четверо из этих 32 после вопроса спохватывались: «Ух, я брал неполные ложки! Здесь осталось больше, а должна остаться одна». Итак, 32 отсчитывали 4 отдельности, а не 4 единицы.

Задача 2. Ребенок переливал воду из двух кружечек в чашку и устанавливал, что из двух кружек получается одна полная чашка. Мы просили ребенка повторить, из скольких кружечек получается одна полная чашка, и потом, показывая три чашки и четыре кружки, доверху налитые водой, говорили: "Сосчитай, сколько всего чашек воды на столе».

40 детей считали подряд все чашки и кружки. Тогда мы еще разпросили их посчитать чашки. После этого 11 детей дали правильный ответ: объединяя кружки по парам или описывая пальцем полукруг вокруг пары кружек, они засчитывали каждую пару кружек на одну чашку.

Из остальных 49 детей 20 считали подряд, называявсе кружки чашками;

17считали подряд, называя все своими именами; 12 детей, сосчитав чашки, останавливались и говорили, что чашек больше нет; мы просили их считать чашки дальше, и тогда они все начинали считать подряд, причем 10 называли кружки чашками, а трое называли предметы своими именами. Итак, 49 из 60 считали только отдельности и не смогли составить из них единицы.

Задача 3. На столе лежали две палочки — маленькая в 5 см и большая в 25 см. Ребенка просили определить, сколько маленьких палочек уложится в большой; где нужно было, помогали правильно откладывать мерки. После того как ребенок устанавливал, что в длинной палочке помещается пять коротких, мы выкладывали на стол еще четыре такие же маленькие палочки в одну большую и клали ее рядом с цельной, так что равенство обеих было очевидно. Палочки были одинаковыми по форме и цвету, иединственное их различие состояло втом, что одна было цельной, а другая разделенной на части.

Ребенка просили сосчитать, сколько маленьких палочек на столе; это все выполняли правильно. Тогда, показывая еще одну такую же маленькую палочку - образец, мы просили ребенка узнать, где больше таких палочек — здесь (большая цельная) или здесь (составленная из частей)».

28 (из 60) дали правильный ответ.

32 говорили, что маленьких палочек больше в составной. Цельная палочка выступала как «одна», а составленная из частей — как «много».

Задача 4. На столе две веревки, одна — больше 80 см, другая 10 см. Показывая ребенку длинную веревку, мы говорили: нам надо взять от этой веревки такой кусок (показываем неопределенно), чтобы в нем было 4 такие веревочки (показываем веревочку — мерку). Ребенок повторял условие задачи, и тогда мы давали ему веревки и предоставляли действовать.

20 детей (из 60) решили задачу правильно.

9 вообще не знали, что делать.

31 дал неправильный ответ: 10 произвольно укалывали размер требуемой веревки, 10 «отмеривали» без помощи мерки. 11 правильно откладывали мерку, но просили отрезать отложенную часть и, когда это запрещалось, отказывались решать задачу.

Задача 5. Ребенку предлагают отсыпать из миски на стол в одну кучку две столовые ложки риса. Обводя вокруг кучки пальцем, мы говорили ребенку, что эта кучка — его, и просили дать такие же кучки риса воспитательнице (присутствует), маме, папе и бабушке (отсутствуют). Это задание правильно выполнили все дети без видимых затруднений. Но достаточно было изменить инструкцию и вместо имен указать общее число кучек, которое нужно отсыпать (задача 10: «Отсыпь пять таких же кучек», причем на этот раз кучка — образец давалась и одной кучкой, и в виде двух рядом отложенных ложек риса), и теперь только 19 детей решали задачу правильно, а 41 человек упорно откладывали пять раз по одной ложке. Для них число (5) состояло из отдельностей, которыми единственно характеризовалисьединицы.

Задача 6. На столе две одинаковые чашки, одинаково доверху наполненные рисом. Ребенка просят сказать, в какой чашке риса больше и, если он указывал на какое-нибудь различие, уравнять чашки (конечно, эти исправления были совер-

шенно незначительны). После этого ребенка просили отсыпать рис на стол отдельными кучками, из одной чашки столовой ложкой, из другой — чайной ложкой; эти кучки и откладывались около своей чашки. Между обеими группами кучек клали разделявшую их линейку. Обе группы кучек резко отличались по количеству кучек (в столовой ложке помещалось три чайные) и значительно меньше — по размеру кучек - так как рис несколько рассыпался по столу.

Показывая на ту или другую группу кучек, мы просили ребенка сказать, где большие кучки риса, а где маленькие; где больше кучек, а где их меньше; и, наконец, задавали вопрос: «Где больше риса?».

10 человек дали правильный ответ.

50 детей утверждали, что риса больше там, где больше кучек, т. е. больше отдельностей. Когда мы спрашивали этих детей; «А если эти кучки сложить обратно в свои чашки?» — 31 продолжали утверждать, что риса будет больше там, где больше кучек. Но 19 сказали, что тогда будет поровну». «А теперь где больше риса?» — спрашивали мы, и дети снова указывали, что больше риса там, где больше кучек.

Задача 7. Ребенок столовой ложкой отсыпал из миски на стол 3 кучки риса: I из 4 ложек, II и III из 2 ложек. Мы просили повторить, сколько ложек риса в каждой кучке, на что все отвечали правильно. Тогда на глазах у ребенка мы рассыпали по столу среднюю кучку (из 2 ложек риса) и спрашивали: «А теперь где больше риса — здесь или здесь (1-II), здесь или здесь (П—III)?».

Только 15 детей дали вполне правильный ответ. 28 решительно указывали на среднюю кучку, как большую из всех — они ориентиропались только на резко доминирующий размер; 17 правильно указывали соотношение 1 и II кучки, но очень колебались в отношении II и III, часто отдавая предпочтение II, эти учитывали не только ширину, но и высоту кучки. В общем, у 45 наглядное преобладание одного размера (или отсутствие такого преобладания) было единственным основанием количественной оценки.

Задача 8. На столе кучка риса (отложена чайной ложкой), рядом две ложки — столовая и чайная. Мы говорим, что в кучке отложено 10 ложек риса, и спрашиваем, какой ложкой она отложена.

22 ребенка без колебаний указывали на столовую ложку: «Большее число — большая ложка».

5 детей все время колебались и смотрели не столько на кучки, сколько на нас, ловя малейший намек с нашей стороны; 33 правильно указывали на чайную ложку и не сбивались, когда мы спрашивали: «А может быть, большой?». Таким образом, около половины детей обнаружили понимание числа как конкретной, абсолютной величины.

В следующей задаче (8а) кучка была составлена из трех столовых ложек; резко отличаясь от предыдущей по числу, она почти не отличалась от нее по внешнему виду (так как 3 столовые ложки почти равны по объему 10 чайным). Рядом с кучкой лежат те же ложки. Мы говорим, что в кучке отложено 3 ложки и задаем тот же вопрос: «Какой ложкой отложена эта кучка?». Но и теперь 22 ребенка без колебаний и устойчиво указывают на маленькую ложку; «Маленькое число — маленькая ложка…».

Эти количественные показатели, а также способ выполнения правильных и не-

правильных решений показывают, что большое количество детей:

1. Ориентируются не на единицы, а на фактические отдельности, т. е математически ошибочное представление о единице.

2. Рассматривают число не как отношение к «единице измерения», а как абсолютную величину, наравне с другими конкретными величинами, т. е. имеют неправильное представление и о прочих числах.

3. Производят количественную оценку величин не на основе измерения и числа, а на основе непосредственного сравнения по «сильному признаку» восприятия, т. е. обнаруживают нематематический, доматематический подход к такой оценке

Дети, правильно решившие контрольные задачи, всегда отличались одним: они уверенно и правильно пользовались указанной мерой. Но общепринятая методика начальной арифметики этому не учит, этому дети учатся главным образом в жизненной практике. Поэтому умение пользоваться «единицей измерения» оказывается разным в отношении разных величин и разных параметров (длины — лучше всего, объемы — хуже, вес — еще хуже и т. д.). Поэтому разные задачи, смотря по близости к житейской практике, решаются с разным успехом, который мало связан с успеваемостью в обучении по арифметике (слабые ученики в этом лишь немного уступали хорошим).

Таким образом, если из общих итогов исключить то, что идет за счет применения меры и чему «по арифметике не учат», то окажется, что арифметические знания не применяются к решению конкретных задач и не затрагивают непосредственный доматематический подход к количественной оценке величин. Современное обучение начальной арифметике не воспитывает математического подхода к этой задаче и не только не дает разъяснения чисел, но фактически формирует неправильные представления о них. Знания и умения, которые при этом образуются, остаются формальными, и это тем более опасно, что в известных границах (например, в том частном случае, когда единица измерения совпадает с отдельностями) они дают правильный результат, «подкрепляются» и закрепляются. Но за таким внешне правильным результатом нет правильного понимания, и не удивительно, что в литературе встречаются постоянные указания на непонимание детьми того, что они говорят и делают, когда считают. Естественно, что при таком положении не может быть и речи о развитии математического мышления детей, по крайней мере, за счет самой методики преподавания.

П.Я. Гальперин, Л С. Георгиев. Недостатки обучения счету. Дошкольное воспитание, 1961, № 4, с. 61—65.