Формирование начальных математических понятий

Методика наша состояла из трех частей, Целью первой было формирование математического подхода к оценке количеств.

Сначала, чтобы оживить знания о применении меры и о важности этого, прводилась экскурсия в магазины. Дети следили за примериванием, отмериванием,

причем их внимание обращали на то, как важно делать это тщательно, точно примерить или отмерить. Затем в детском саду дети «мерялись» друг с другом, примеряли вещи и т.д. При этом мы каждый раз спрашивали: «Что нужно сделать, чтобы узнать кто выше? Подходит ли? Какой больше?» и т.д. Если дети не знали, как ответить, мы отвечали сами, а в следующий раз дети уже называли действие. Далее следовало выделение разных импровизированных мерок для разных величин: это у нас будет мерка (показывали кубик, спичку, куклу, ложку). Ею мы будем мерить эти вещи. После каждого измерения (результатом которого было только указание, что больше или меньше) мы спрашивали: как называется то, чем мы меряем? Что у нас было меркой? Что мы делаем меркой? В качестве мерки большей частью берем не целые величины, а несколько предметов (два кубика, две ложки риса) или части их (половину спички, половину кружки, половину нарисованного грибка). Так производится количественная дифференциация меры от «отдельности» (отдельных предметов). В следующий раз мы приступаем к ее качественной дифференцировке. Мы спрашиваем, можно ли это (рис, воду) мерить этим (палочкой или картонным кружочком), а это (ленту) этим (кружкой)? А чем их можно мерить? И т д. В заключение задается общий вопрос: «Можно ли всякую вещь мерить любой меркой?». На что следует общий вывод: нельзя, каждую вещь надо мерить своей меркой - меркой того же рода.

Следующий шаг — процесс откладывания мерки, «процесс измерения». Берем материалы, требующие неоднократного приложения мерки, и показываем необходимость правильного, т. е. точного, откладывания мерки. «Измерение» производится сначала физически, потом на глаз, но в присутствии мерки и, наконец, по одному словесному ее называнию (например, меркой будет зеленый кубик, спичка и т. п.).

В результате отмеривании одной и той же меркой впервые получаются собственно математические множества совокупности элементов, одинаковых, равных в определенном отношении. Теперь мы приступаем к их сравнению, соизмерению. Но сначала показываем, что для этого нужен специальный прием: показываем две беспорядочные группы из 10-11 элементов и спрашиваем, какая больше. В таком виде это нельзя сразу определить. Дан почувствовать затруднение, мы объясняем, что для правильного решения нужно расположить группы в два ряда, один под другим, элемент одного к элементу другого. Таким образом, мы специально выделяем одно из основных математических действий — однозначное соотношение — и учим ему детей. По общепринятой методике это действие тоже используется, но останется глубоко скрытым.

На основе такого сравнения множеств формируются понятии «столько же, равно», «больше», «меньше» и «больше (меньше) на столько» с показом вещественного избытка (или недостатка).

Следующая задача — обобщение множеств. Желая сделать это наглядно, мы вводим заместитель фактически отмеренных количеств, их эквиваленты. Чтобы показать необходимость такой замены, мы переходим к отмериванию величин, в которых отложенные меркой количества снова теряются: длина стола, на котором нельзя делать заметки, крупа или вода, отдельные мерки которой сливаются в общую миску, и т. п. «Сколько получилось?» -- спрашиваем мы. Показать нечего, ребенок в затруднении.

Тогда мы говорим: «Вот видишь, мы отмерили, да не отметили и теперь не знаем, сколько получилось». Дальше на каждую отложенную мерку будем откладывать для памяти какой-нибудь предмет. После каждого откладывания эквивалентов спрашиваем: «Что было меркой?». Теперь величины (например, длина стола и подоконника) сравниваются не по выделенным меркой количествам, а по их эквивалентам. Однако каждый раз они сохраняют прямое отношение к своей конкретной величине. Чтобы еще больше освободить от связи с ней, мы прибегаем к такому приему: берем (без предварительного отмеривания) группу эквивалентов и говорим: «Вот что-то мерили какой-то меркой и получили столько отложенных мерок» (показываем). Тут же объект — «некий», мера — «некая», но количество отложенных мерок по-прежнему представлена вещественно. С этими материально данными абстракциями проводятся те же операции соизмерения и определения понятий «больше», «меньше» и т. д. Причем каждый раз мы спрашивали: «Что означают эти предметы?». И таким образом они все время выступают лишь в функции представителей отложенных количеств, теперь уже совершенно абстрактных.

Все это подготавливает второй раздел программы — формирование понятий о числах первого десятка и арифметических действиях с ними.

Первая задача — создать положение, где числа становятся необходимостью. Это бывает, когда нужно сказать, а не показать вещественные количества, как на предыдущей ступени обучения, а сказать «сколько». Например, говорим ребенку: «Пойди и попроси воспитателя дать тебе столько карандашей, сколько здесь кубиков. Нет,кубики брать нельзя, они нужны нам здесь. Как это сделать? Для этого нужно знать числа и уметь считать. Вот теперь мы будем учить числа и учиться считать».

Первое число — единица. Ей сразу дается определение: это то, что равно данной мерке. Тут же показывается цифра: это написано число один, единица. Писать цифры мы не учим и пользуемся цифрами, написанными на карточках. Тотчас единица применяется в измерении и счете: отмерь столько… (показываем цифру) принеси один... (или столько— цифра); это сколько (показываем цифру или объекты равные мерке)? И т. д.

Проводятся специальные дифференцировки, чтобы показать, что и мера, отмеренное ею сами по себе не единицы, единица то, что отмерено, когда оно равно мерке и только по отношению к своей мерке.

Число «два» разъясняется на первом его составе: 1 + 1. Дается название и цифра. Тотчас вводится различение количественного и порядкового счета: «сколько всего» и «какой по порядку, по очереди». Счет прямой и обратный. Затем опять разнообразное применение в измерении и счете объектов. Так как два получалось через 1+1, то следующее число 1-1, т. е. 0. Мы разъясняем его как «ничего не осталось» (не умея сделать лучше) и дальше «отрабатываем», как и предыдущие числа. Число «три» образуем как 2+1, отрабатываем так же, но с него начинаем изучение «состава числа» путем всевозможных прибавлений и отниманий: 2+1, 2-1, 1+1 + 1. 1+2, 3-1,3-2,3-1-1-1.

На материале четырех чисел: 0, 1, 2, 3 — мы даем правило образования чисел (натурального ряда). Для этого вертикально выкладываем цифры, а около каждой по горизонтали — эквиваленты (в соответствующем количестве). Получается лесенка, на которой легко показать, что «каждое следующее число больше предыдущего

на один», а «каждое предыдущее меньше следующего тоже на один»; для облегчения мы делим правило на эти две части. Тут же проводится обобщение правила: берем группу из 12—15 предметов, она вещественно представляет и говорим: «Вот у нас какое-то число предметов: какое будет следующее число? А еще следующее? А какое было предыдущее?». И т. д.

После «трех» каждое новое число дети образуют сами (предыдущее +1), и затем оно отрабатывается по следующей схеме:

1. Образование нового числа, его название и цифра.

2. Количественный и порядковый счет.

3. Обратный счет и счет от средних членов ряда (тоже прямой и обратный).

4. Отношения между смежными числами (на сколько больше, на сколько меньше).

5. Дифференцировка количественных отношений величин от их пространственных размеров и положения в пространстве.

6. Сложение и вычитание (всевозможные) в пределах нового числа простыми мерками (совпадающими с фактическими отдельностями).

7. То же «составными мерками» (равными нескольким фактически имеющимся конкретным величинам) с указанием как полученных единиц, так и числа полученных в результате отдельных предметов.

8. Изучение состава нового числа на основе сложения и вычитании (это подготавливается в двух предыдущие параграфах, а теперь проводится систематически).

С каждым новым числом знания по указанным 8 пунктам усваиваются все легче (вероятно, потому, что опираются на одну и ту же схему и на все возрастающий объем уже известных знаний).

В третьей части изучались зависимости между величиной, мерой и числом. Мы ограничились изучением того, что если мерку увеличить, то число станет меньше, а если взять меньшую мерку, то число будет больше (конечно, при неизменной величине), словом, что число показывает размер величины не прямо, а через мерку и чем больше число, тем меньше мерка. Все это показываем на конкретных величинах, причем дети еще раз убеждаются: нельзя сравнивать числа, полученные от измерения разными мерками, даже если они одного рода, а тем более если они разного рода (спичка и карандаш, длина и вес).

Описанная методика систематически затормаживает донаучную оценку величин по непосредственному сравнению и господствующему наглядному признаку. Кроме того, она воспитывает неуклонное применение мерки и последовательно формирует ряд понятий: мерка, отмеривание, соотношение отмеренных и одинаковых количеств одно к одному, больше, меньше, равно, настолько (больше, меньше), единица и т. д. Для каждого из них указывается действие, с помощью которого оно выделяется, каждому дается словесное выражение, и все они дифференцируются от сходных представлений донаучного опыта. При этом самые абстрактные понятия и правила опираются на материальные и наглядные модели. <...>

П.Я. Гальперин, Л.С. Георгиев. Формирование начальных математических понятий. Дошкольное воспитание. 1961, №6, с. 65-67.