Единицы веса по результатам двойных измерений

Пример 30. При тахеометрической съемке линии съемочного обоснования измерялись мерной лентой дважды – в прямом и обратном направлениях. Результаты измерений приведены в табл. 20, гр. 2, 3. Определить вероятнейшее значение всех линий хода, среднюю квадратическую погрешность двойного измерения, приходящуюся на 1 км, и среднюю квадратическую погрешность арифметической средины каждой линии.

Сначала находим разности двойных измерений . Затем суммируем их и убеждаемся в том, что систематической погрешностью можно пренебречь, (в пределах точности взятия отсчетов по шкале мерной ленты). Следовательно, для определения средней квадратической погрешности можно использовать формулу

.

Таблица 20

Линии	1¢ м	1² м	D см	dd	p	pdd	м	M
1-2	111,36	111,30	+ 6		9,0	324,0	111,33	0,037
2-3	213,86	213,94	- 8		4,7	300,8	213,90	0,051
3-4	321,14	321,31	- 17		3,1	895,9	321,22	0,062
4-5	181,29	181,20	+ 9		5,5	445,5	181,24	0,047
5-6	78,13	78,08	+ 5		12,8	320,0	78,10	0,031
		å = - 5			2286,2

Веса в данном случае введены потому, что измеренные линии имеют разную длину и, следовательно, их погрешности будут разными. Значения весов приняты обратно пропорциональными длинам линий при коэффициенте . Величина коэффициента принята таковой для того, чтобы, с одной стороны, иметь веса, выраженные сравнительно простыми числами, а, с другой, - чтобы при вычислении средней квадратической погрешности одного измерения сразу получить ее значение на 1 км хода.

После заполнения гр. 7 вычисляется средняя квадратическая погрешность двойного измерения, приходящаяся на 1 км одного измерения

.

Средняя квадратическая погрешность, приходящаяся на 1 км одного измерения

.

Вероятнейшее значение длины линии определяется как арифметическая средина из прямого и обратного измерений; результаты вычислений записываются в гр. 8.

Средняя квадратическая погрешность вероятнейших значений длин линий вычисляется по формуле

,

где р – вес соответствующей линии.

Пример 31. При дорожных изысканиях часть горной трассы была пронивелирована в прямом и обратном направлениях. Результаты нивелирования приведены в табл. 21, гр. 2, 3.

Определить среднюю квадратическую погрешность нивелирования, приходящуюся на 1 км хода, если число постановок нивелира n¢ на 1 км было в среднем 25.

Аналогично предыдущему примеру находим разности двойных измерений в прямом и обратном ходах, гр. 4. Подсчет суммы разностей убеждает в отсутствии систематической погрешности, которая находится в данном случае как . Здесь - сумма всех постановок нивелира, полагая, что систематическая погрешность действует пропорционально числу постановок нивелира.

Таблица 21

Участки трассы	h¢пр мм	h²об мм	d мм	dd		pdd	n¢
пк 1-2			+ 6		8,33	299,88
пк 2-3			- 5		12,50	212,50
пк 3-4			+ 10		6,25	625,00
пк 4-5			- 2		25,00	100,00
пк 5-6			- 3		25,00	225,00
пк 6-7			- 5		12,50	312,50
пк 7-8			+ 9		6,25	506,25
пк 8-9			- 7		6,25	306,25
пк 9-10			- 5		12,50	312,50
		å =	- 2			2999,88

Вес отдельного превышения принимаем обратно пропорциональным числу станций . Коэффициент l следует принимать равным 25, то есть равным среднему числу постановок нивелира, приходящегося на 1 км нивелирного хода.

Отсюда, применяя формулу получим среднюю квадратическую погрешность, приходящуюся на 1 км нивелирования трассы

где n – число измерений.

Пример 32. Для определения уклона реки произведено нивелирование по обоим ее берегам в прямом и обратном направлениях (рис. 11).

Е Д Г

р. Сев. Донец

А В С

Рис. 11. Схема расположения участков нивелирования реки

Результаты расхождений в превышениях приведены в табл. 22, гр. 2.

Определить среднюю квадратическую погрешность нивелирования, приходящуюся на 1 км хода.

Сначала суммируем разности двойных измерений и убеждаемся в наличии систематической погрешности , то есть на каждую постановку нивелира приходится 0,4 мм. Поэтому следует исключить ее из всех разностей двойных нивелировок, гр. 6.

Итак, на каждую постановку нивелира приходится величина систематической погрешности . Следовательно, величина систематической погрешности на каждом участке будет равна , табл. 22, гр. 5.

Таблица 22

Участки хода	d мм	Число станций n¢		do на участке	Dd	DdDd	pDdDd
А-В	- 12		5,56	- 7	- 5		139,00
В-С	+ 2		8,33	- 5	+ 7		408,17
Е-Д	- 8		5,00	- 8
Д-Г	- 6		10,00	- 4	- 2		40,00
å =	-24						587,17

Вес каждого участка хода определим по формуле . В данном случае коэффициент l целесообразно принять равным 100, чтобы веса выразились сравнительно простыми числами.

Для оценки точности нивелирования воспользуемся формулой Бесселя для двойных измерений

где n - число участников (измерений).

Поэтому вычисленная средняя квадратическая погрешность приходится на 100 станций, так как только в этом случае вес будет равен единице.

Подставив в эту формулу сумму значений гр. 8, получим

.

Отсюда средняя квадратическая погрешность нивелирования, приходящаяся на одну станцию, будет равна

.

Тогда средняя квадратическая погрешность нивелирования, приходящаяся на 1 км хода, то есть на 10 станций, будет равна

.

Рассмотренные выше примеры на применение теории погрешностей оценки точности тех или иных измерений позволяют решать не только поставленные в пособии задачи, но и типовые задачи, часто встречающиеся в геодезической практике. В случае же необходимости рассмотренные способы оценки точности геодезических измерений дают возможность решать и более сложные функциональные зависимости, так как они являются совокупностью ряда простых задач.

Литература

1. Инженерная геодезия/ под ред. П.С. Закатова. М.: Недра, 1976. 582 с.

2. Справочник геодезиста в двух книгах / под ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. М.: Недра, 1985. 455 с.

3. Федоров В.И. Инженерная геодезия/ В.И.Федоров, П.И.Шилов. М.: Недра, 1982. 357 с.

4. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей/ А.С.Чеботарев. М.: Геодезист, 1958. 606 с.

5. Шилов П.И. Способ наименьших квадратов/ П.И.Шилов. М.: Геодезиздат, 1941. 407 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………………………..3

І. Основы теории погрешностей ……………………………………………...4

1. Общие понятия об измерениях и их погрешностях …………………...4

1.1. Виды геодезических измерений …………………………………..4

1.2. Погрешности измерений и их классификация …………………...6

1.3. Свойства случайных погрешностей ………………………………8

1.4. Принцип арифметической средины ……………………………. 10

1.5. Критерии оценки точности геодезических измерений …………12

Вопросы для самопроверки ………………………………………17

2. Оценка точности геодезических измерений и их функций.

Равноточные измерения ………………………………………………..18

2.1. Средняя квадратическая погрешность одного измерения ……..18

2.2. Средняя квадратическая погрешность функции вида

Z = K x …………………………………………………………...20

2.3. Средняя квадратическая погрешность функции вида

Z = x ± y …………………………………………………………...22

2.4. Средняя квадратическая погрешность функции вида

Z = x₁ ± x₂ ± х₃ ±… ± x_n …………………………………………23

2.5. Средняя квадратическая погрешность функции вида

Z = K₁x₁ ± K₂x₂ ± К₃х₃ ± … ± K_nx_n ……………………………….24

2.6. Средняя квадратическая погрешность функции общего вида

Z = f(x₁,x₂, x₃,…, x_n) ………………………………………………26

2.7. Средняя квадратическая погрешность по разностям

двойных измерений ………………………………………………27

Вопросы для самопроверки …………………………………….31

3. Оценка точности геодезических измерений и их функций.

Неравноточные измерения …………………………………………….32

3.1. Веса результатов измерений ……………………………………..32

3.2. Средняя квадратическая погрешность измерения с весом,

равным единице ………… ………………………………………..34

3.3. Общая арифметическая средина или среднее весовое …………35

3.4. Средняя квадратическая погрешность общей

арифметической средины ………………………………………..36

3.5. Веса функций измеренных величин ……………………………..39

Вопросы для самопроверки ………………………………………40

II. Задачи на применение теории погрешностей к практике

геодезических работ………. ……………………………………………...41

4. Равноточные измерения ……… ……………………………………….41

4.1. Сводка формул по теории погрешностей ……………………….41

4.2. Угловые измерения ……………………………………………….42

4.3. Линейные измерения ……………………………………………..47

4.4. Нивелирование ……………………………………………………53

4.5. Совместные измерения …………………………………………..57

4.6. Измерения на плане и карте…. …………………………………..63

5. Неравноточные измерения …………………………………………….65

5.1. Сводка формул по теории погрешностей ……………………… 65

5.2. Определение весов результатов измерений …………………… 66

5.3. Определение средней квадратической погрешности

единицы веса по результатам истинных погрешностей ………67

5.4. Определение общей арифметической средины и ее средней

квадратической погрешности …………………………………...68

5.5. Определение средней квадратической погрешности единицы

веса по результатам двойных измерений ………………………70

Литература ……………………………………………………………………74

Учебное издание

НОВИКОВ Валентин Иванович

РАССАДА Андрей Борисович