Совместные измерения

Пример 18. Для определения расстояния между крайними опорами В и С моста были измерены базис б = 106,534 м с относительной погрешностью 1/10000 и все углы треугольника со средней квадратической погрешностью m = ± 0,2¢ (рис. 7).

Определить длину линии ВС и ее среднюю квадратическую погрешность, если угол b₁ = 55⁰10¢20², а b₃ = 45⁰13¢10².

Из треугольника АВС имеем известное выражение

Подставляя в него измеренные величины, получим а = 123,203 м. Приведенная выше зависимость имеет вид функции общего вида (46). Следовательно, средняя квадратичес- кая погрешность оп- ределения стороны а будет равна

А b1   b c     b2 b3 В С a   Рис.7. Схема определения расстояния между опорами моста

,

где ,

,

,

m₆ = в/10000 = 106,534/10000 = 0,010653.

Подставив числовые значения приводимых в равенство погрешностей, получим

m_a = ± 0,017 м,

а = 123,203 м ± 0,017 м.

Пример 19. Координаты начальной и конечной точек оси тоннеля получены со следующим результатами:

Ха = 1243,25 м ± 0,03 м; Уа = 849,32 м ± 0,04 м;

Хб = 1343,25 м ± 0,04 м; Уб = 1849,32 м ± 0,07 м.

Определить длину и направление оси тоннеля и их средние квадратические погрешности.

Напишем ряд формул обратной геодезической задачи

Dх = Х_в – Х_а, Dу = У_в – У_а, (а)

, . (б)

и для простоты последующих рассуждений можно записать

Z₁ = d² = D²х +D²у, Z₂ = tg r = Dy/Dx, (в)

длина ,

направление tg r = +1000/+100 = 10 или r = СВ: 84⁰17¢22².

Для оценки точности полученных величин рассмотрим формулы обратной геодезической задачи, которые имеют вид функций разности (а) и общего вида (б) или (в).

В этом случае для равенств (а) запишем значения средних квадратических погрешностей для приращений координат, то есть

и

или, подставляя сюда исходные данные, получим

, .

Рассмотрим равенства (б) и (в).

Так как левые и правые части равенств (б) являются аргументами некоторых функций Z (в), то правомерно найти полные производные обеих частей равенств и приравнять их между собой

2d ^. dd = 2 ^. Dx ^. dDx + 2 ^. Dy ^. dDy,

.

Возведя в квадрат обе части полученных зависимостей и заменив квадраты бесконечно малых приращений квадратами средних квадратических погрешностей, получим

,

.

Подставив сюда числовые данные, получим средне квадратические погрешности определения длины и направления оси моста

,

или ; .

Пример 20. Для определения длины и направления лога был проложен висячий буссольный ход длиной L = 2,5 км.

Определить предельное смещение конечной точки этого хода, если азимуты линий измерялись буссолью с погрешностью ± 15¢, длины линий измерялись с относительной погрешностью 1/N = 1/1000 и средняя длина сторон хода составляет 1 = 100 м.

Конец каждого 100 – метрового отрезка будет смешаться:

- в продольном направлении

m₁¢ = 1/N = 100/1000 = ± 0,1 м,

- в поперечном направлении

m₁² = 1 ^. m/p = 100 ^. 15¢/3438¢ = ± 0,4 м,

-общее смещение

Так как общее количество сторон будет n = L/1 = 25, то смещение точки в конце хода будет равно

,

а предельная погрешность в положении конечной точки будет равна

.

Пример 21. Какой длины D должен быть теодолитный ход, чтобы предельный сдвиг (2m) конечной точки этого хода не превышал бы точности масштаба 1/5000, если углы поворота измерялись со средней квадратической погрешностью ± 0,5¢, а длина – с относительной погрешностью 1/N = 1/2000 при средней длине сторон хода 1 = 250 м?

По аналогии с предыдущим примером определим смещение конца каждого 250-метрового отрезка:

- в продольном направлении

m₁¢ = 1/N = 250/2000 = ± 0,125 м,

- в поперечном направлении

m₁¢¢ = 1. mb/p = 0,5¢250/3438¢ = ±0,036 м,

- общее смещение

.

Так как длина теодолитного хода будет равна

D = 1₁ +1₂ +1₃ +... +1_n,

то .

Отсюда

n = m²_d/m²₁.

Согласно условию задачи ,

где t= 0,5 м – точность масштаба 1/5000.

Тогда 0,5 = 2 ^. m_d или m_d = 0,5/2 = 0,25 м.

Подставив это число в вышеприведенное равенство, определяющее число линий хода, будем иметь

.

Отсюда длина теодолитного хода не должна превышать

.

Пример 22. В процессе тригонометрического нивелирования превышения на каждой станции определялись по формуле

,

где d – горизонтальное положение, измеренное мерной лентой с относительной погрешностью 1/1000, v- угол наклона визирного луча, измеренный теодолитом с точностью ± 0,5¢, i и 1 – постоянные величины на каждой станции и их влиянием на точность нивелирования можно пренебречь.

Определить превышение между двумя точками местности и среднюю квадратическую погрешность определения её, если расстояние между ними равно d = 100м и величина угла наклона будет равна 7⁰10¢ при 1 = i.

Перед нами функция общего вида и, следовательно, имеем равенство средних квадратических погрешностей

,

где .

Подставив числовые значения в приведенные равенства, получим

h = 100tg7⁰10’ = 12,57 м и .

Следовательно, имеем .

Задача 24. При определении высоты Н объекта теодолитом были измерены углы наклона на верх и низ сооружения и со средней квадратической погрешностью ± 0,2¢, а также расстояние до него d = 70 м с относительной погрешностью 1/5000 (рис.8).

Рис. 8. Схема определения высоты объекта

Определить высоту объекта и ее среднюю квадратическую погрешность.

Используя формулы тригонометрического нивелирования, получим

Н = 38,97 м ± 0,01 м.

Задача 25. Две точки проекта определены полярным способом путем построения проектных углов с точностью + 0,5¢ и отложения проектных расстояний с относительной погрешностью 1/2000 (рис. 9).

Определить среднюю квадратическую погрешность в полученном размере АВ, если средняя длина отрезков 1 равна 25 м. Сначала необходимо найти продольное и поперечное смещение каждой точки, а затем и взаимное. Ответ: .

А В

l₁ l₂

β₁ β₂

N M

Рис. 9. Схема определения точек

проекта полярным способом

Задача 26. При перенесении проектной точки с нижнего на верхний монтажный горизонт, расстояние между которыми составляет 12 м, использовался прибор вертикального проектирования с точностью установки визирной оси в вертикальном положении ± 0,05¢.

Найти поперечный сдвиг Q точки под влиянием погрешности направления отвесной линии.

Определить среднюю квадратическую погрешность величины сдвига, найденного данным прибором.

Ответ: Q = 0,02 м и m = ± 0,002 м. или Q = 0,02 м 0,002 м.

Задача 27. С какой средней квадратической погрешностью будет определен отсчет по рейке, установленной на противоположном берегу реки, шириной L = 400 м, если вспомогательная цель фиксировалась на рейке с точностью ± 1 мм и угол наклона визирного луча нивелира определялся при помощи цилиндрического уровня с погрешностью 5² (задача по передаче отметки через водные преграды при их ширине свыше 300 м).

Сначала найти смешение точки на рейке под влиянием погрешности в положении горизонтального луча, а затем учесть ошибку фиксирования вспомогательной цели.

Ответ: m = ± 10 мм.

Измерения на плане и карте

Пример 23. Отрезок на плане был измерен при помощи циркуля-измерителя и масштабной линейки. Найти среднюю квадратическую погрешность результатов измерения, если средняя квадратическая погрешность совмещения одной ножки измерителя с делением линейки равна ± 0,05 мм, а погрешность отсчета по другой равна ± 0,08 мм.

Здесь можно записать формулу определения расстояния по масштабной линейке при помощи циркуля-измерителя в виде

S = N₂ – N₁ и ΔS = ΔN₂ - ΔN₁.

где N – отсчёты по концам измерителя.

Тогда средняя квадратическая погрешность определения расстояния, будет иметь вид

или с учётом вышеприведенных данных получим

.

Пример 24. На плане были измерены основание треугольника b = 112,0 м со средней квадратической погрешностью ± 0,10 м и его высота h = 60,2 м со средней квадратической погрешностью ± 0,15 м.

Определить площадь треугольника и ее среднюю квадратическую погрешность

S = 0,5 b h = 3371,20 м²

Отсюда уравнение погрешностей

,

где ds/dв = h/2 = 30,1м и ds/dh = в/2 = 56,0 м.

Подставив числовые значения производных в равенство погрешностей, получим

.

Пример 25. Отрезки на плане измерялись дважды при помощи циркуля-измерителя и масштабной линейки. Результаты измерений приведены в табл. 16, гр. 2, 3.

Определить среднюю квадратическую погрешность измерения отрезков на плане при помощи циркуля-измерителя и масштабной линейки.

В данном случае имеем ряд двойных измерений. Поэтому сначала находим разности для парных измерений и выясняем наличие систематической погрешности в данном ряду измерений, гр.4.

Так как систематическая погрешность в данных измерениях отсутствует, то воспользуемся формулой Гаусса для двойных измерений

= = 0,055 мм.

Таблица 16

№	1¢ мм	1² мм	D мм	dd
	20,45 44,00 65,95 99,55 132,45 23,60 45,45 79,05 112,00 22,00 55,45 88,40 33,65 66,45 32,90	20,55 44,05 66,00 99,50 132,60 23,45 45,45 79,05 111,95 21,90 55,45 88,50 33,60 66,45 32,85	-0,10 -0,05 -0,05 -0,05 -0,15 +0,15 +0,05 +0,10 -0,10 +0,05 +0,05	0,0100 0,0025 0,0025 0,0025 0,0225 0,0225 0,0025 0,0100 0,0100 0,0025 0,0025
Σ = 0 0,0900

Задача 28. Площадь участка, вычисленная по координатам его вершин, оказалась равной S = 125,25 га. Та же площадь определена 4 раза планиметром и получены следующие результаты: 125,00 га, 125,08 га, 125,40 га и 125, 50 га.

Определить среднюю квадратическую погрешность измерения площади полярным планиметром, выразив ее в относительной форме.

Ответ: .

Задача 29. Для подсчета объема земляных работ на картограмме выведен участок в форме параллелепипеда следующих размеров: длина х = 10 м, ширина у = 4 м и высота z = 3 м.

Определить объем v параллелепипеда и его среднюю квадратическую погрешность, если размеры сторон измерены с относительной погрешностью 1/1000.

Ответ: .

Задача 30. Определить площадь прямоугольника и его среднюю квадратическую и относительную погрешности, если его длина d = 200 м и ширина h = 100 м измерены на плане, составленном в масштабе 1/5000.

В этом случае необходимо воспользоваться точностью плана при определении средней квадратической погрешности измерения длины и ширины прямоугольника t = ± 0,5 м.

Ответ: .