И ее средней квадратической погрешности

Пример 28. Отметка точки А определена от трех марок, причем получены следующие результаты:

от 1-й марки	,
от 2-й марки	,
от 3-й марки	.

Определить вероятнейшее значение отметки точки А и ее среднюю квадратическую погрешность.

Согласно разд. 5.1 вероятнейшее значение измеренной величины по результатам неравноточных измерений находим по формуле

.

Следовательно, отметка Н_а точки А будет равна

.

Здесь неизвестными являются веса, которые определяем по средним квадратическим погрешностям

.

Приняв , получим

Отсюда вероятнейшее значение отметки будет равно

.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины, как отмечалось выше, определяется по формуле

,

где - средняя квадратическая погрешность результата измерения с весом, равным единице, - сумма весов отдельных измерений.

Для оценки точности арифметической средины составим табл. 18.

Таблица 18

Число измерений	Н м	мм		р	р
	124,346 124,340 124,333	+2 -4 -11
Учитывая значения табл.18 и вышеприведенные математические зависимости, определяем искомые величины:

Пример 29. Этот пример является разновидностью предыдущего примера, когда веса измерений определяются не по средним квадратическим погрешностям, а по длинам линий.

При нивелировании трассы дорог три нивелирных хода сошлись в общей точке А (рис. 10). Определить вероятнейшее значение отметки точки А и ее среднюю квадратическую погрешность, если получены следующие результаты нивелировок: при длине нивелирных ходов, указанных на рис. 10.

Рис. 10. Схема нивелирования узловой точки от трех реперов

Вероятнейшее значение отметки вычисляется по формуле общей арифметической средины

.

Веса рв данном случае можно вычислить по длинам нивелирных ходов, исходя из того, что, чем короче ход, тем точнее результат нивелирования, то есть веса обратно пропорциональны длинам ходов

или, приняв , получим

Подставив полученные значения весов в равенство вычисления вероятнейшей величины искомой отметки, будем иметь

Для определения средней квадратической погрешности общей арифметической средины составим табл. 19.

Таблица 19

В гр. 2 таблицы запишем результаты нивелирования, а в гр. 3 - их веса. Вычислив вероятнейшие погрешности, гр. 4, и заполнив остальные графы, получим среднюю квадратическую погрешность результата измерений с весом,	Число измере-ний	Н мм	р	мм		р
3	124,346 124,369 124,389 å =		-13 +10 +30

равным единице

.

Отсюда средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

Задача 37. Дирекционный угол линии АВ был определен от пунктов полигонометрии по трем ходам:

по первому ходу	,
по второму ходу	,
по третьему ходу	.

Определить вероятнейшее значение дирекционного угла и его среднюю квадратическую погрешность.

Ответ: .