Линейные измерения

Пример 6. Базис длиной в 200 м был измерен дальномером двойного изображения 6 раз. Результаты измерений приведены в табл. 9, гр. 2. Определить среднюю квадратическую и относительную погрешности измерения расстояний дальномером.

Таблица 9

№	l	X	∆	∆∆
	200,04 199,98 200,01 200,06 199,95 199,96	200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00	+4 -2 +1 +6 -5 -4
n = 6 å∆∆ = 98

Так как истинное значение длины

линии известно, то для оценки точности измерения длин данным дальномером воспользуемся формулой Гаусса (20).

,

здесь D_i = 1_i – X.

Тогда m₁ = ± = ± 4 см

или 1/N = 0,04/200 = 1/5000.

Пример 7. Базис мостовой триангуляции был измерен мерной проволокой 10 раз. Результаты измерений приведены в табл.10, гр. 2. Определить вероятнейшее значение базиса, его среднюю квадратическую и относительную погрешности измерения.

Сначала вычисляем вероятнейшее значение измеренной величины (арифметическую средину)

х_о = [1]/n = 150,015 м.

Затем определяем вероятнейшие погрешности данного ряда измерений δ _i =1_i - х_о.

Результаты записываем в табл. 10, гр. 4.

Таблица 10

№	l м	x0 м	Δ см	δδ
10	150,0135	150,0150	- 1,5 + 2,4 + 1,2 - 2,5 + 0,6 + 1,9 - 0,7 - 0,4 - 1,3 - 0,3   å δ = - 0,6	2,25 5,76 1,44 6,25 0,36 3,61 0,49 0,16 1,69 0,09   å δδ = 22,10

δ₀ = = 0,6/10 = 0,06 м.

В связи с ограниченным числом измерений суммарное значение вероятнейших погрешностей не равно 0, но на каждое измерение приходится величина (0,06 мм), выходящая за пределы возможности взятия отсчетов по шкале мерной проволоки.

Следовательно, эта величина не может быть систематической погрешностью (δ₀).

Поэтому возведем в квадрат полученные значения вероятнейших погрешностей, гр. 5, и суммируем их, после чего воспользуемся формулой Бесселя (26)

.

Отсюда средняя квадратическая и относительная погрешности арифметической средины будут равны

М = ± m₁/Ön = 1,6/Ö10 = ± 0,5 мм

или

х_о = 150,015 м ± 0,0005 м; 1/N = 1/300000.

Пример 8. Длины линий съемочного обоснования были измерены стальной мерной лентой в прямом и обратном направлениях. Результаты измерений приведены в табл. 11, гр. 2, 3.

Определить вероятнейшее значение длины каждой стороны хода и её среднюю квадратическую погрешность.

Таблица 11

№	l/ м	l// м	x0 м	d см	dd
1	194,74 212,19 239,11 176,14 208,98 150,45 198,37	194,70 212,10 239,21 176,19 209,09 150,40 198,30	194,72 212,14 239,16 176,16 209,04 150,42 198,34	+ 4 + 9 -10 - 5 -11 + 5 + 7   åd= -1	ådd = 417

Так как в данном примере имеем ряд двойных измерений, то вероятнейшее значение каждой стороны будет равно арифметической средине из двух измерений, гр. 4.

Для оценки точности измерений вычисляем разности парных результатов гр. 2, 3. и полученные значения суммируем для выяснения наличия систематической погрешности,

d_o = [d] / n = -1/7 = - 0,14 см.

Полученная величина не может быть систематической погрешностью, так как выходит за пределы возможной точности отсчитывания по мерной ленте.

В этом случае воспользуемся формулой Гаусса для оценки точности двойных измерений (51), а для этого найдем квадраты разностей, гр. 6, и их сумму,

.

Отсюда средняя квадратическая погрешность арифметической средины для двойных измерений будет равна

М = ± m₁/Ö2 = ± 5,4/Ö2 = ± 4см = ± 0,04 м.

Пример 9. В процессе архитектурных обмеров длина линий измерялась дважды стальной рулеткой. Результаты измерений приведены в табл. 12, гр. 2, 3.

Определить вероятнейшее значение измеренных величин и их среднюю квадратическую погрешность.

Имеется ряд двойных измерений, для которых вероятнейшее значение промеров будет равно арифметической средине из парных результатов, гр. 4,

х_о = 0,5 ^. (1¢ + 1¢¢).

После этого вычисляем разности парных измерений и их систематическую погрешность, если таковая имеется, гр. 5

d_o = [d] / n = 74/6 = + 12 мм.

Таблица 12

№	1/ м	1// м	хо м	D мм	Dd мм	DdDd
	7,050	7,040	7,045	+ 10	- 2
	5,140	5,136	5,138	+ 4	- 8
	10,447	10,432	10,440	+ 15	+ 3
	18,750	18,741	18,746	+ 9	- 3
	12,812	12,790	12,801	+ 22	+10
6	15,164	15,150	15,157	+ 14	+ 2
			å =	+ 74	+ 2

Исключим систематическую погрешность из разностей парных измерений, гр. 6

Dd_i =d_i – d_o.

Для определения средней квадратической погрешности воспользуемся формулой Бесселя для двойных измерений (54), для чего возведем в квадрат вероятнейшие погрешности гр.6 и суммируем их. Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна

.

Отсюда будет найдена средняя квадратическая погрешность арифметической средины для двойных измерений

.

Пример 10. Длина линии была получена нитяным дальномером. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения расстояний дальномером, если коэффициент его К равен 100 и средняя квадратическая погрешность отсчета по одной нити равна m_o = ± 0,1 см.

Расстояние нитяным дальномером определяются по формуле

D = К ^. 1 +с,

где с – постоянная нитяного дальномера. При съёмках в масштабе 1:2000 и мельче эта величина не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на точность изменения расстояний. Поэтому приведенная выше формула имеет вид функции произведения постоянного числа на аргумент (32). Следовательно, можно записать m_d = К ^. m₁. В то же время величина 1 определяется по рейке как разность двух отсчетов по крайним нитям сетки

1 = 1^/ - 1^{/ /}.

Данное равенство имеет вид функции суммы или разности двух аргументов (34). Следовательно, для нее можно записать

m₁ = m_oÖ2.

Подставив данное выражение в верхнее, получим среднюю квадратическую погрешность измерения расстояний нитяным дальномером

m_d = К ^. m_oÖ2 = 100 ^. 0,1 см Ö2 = ± 0,14 м.

Пример 11. Найти площадь прямоугольника со сторонами: а = 20 м и б = 10 м и среднюю квадратическую погрешность ее, если размеры его были получены рулеткой с относительной погрешностью 1/1000.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = аб. Это выражение представляет собой функцию общего вида (46). Поэтому для нее можно записать равенство средних квадратических погрешностей

,

где dS/da = б =10 м, dS/dб = а = 20 м и 1/N = m_а/а = m_б/б = 1/1000.

Отсюда m_а = ± 0,02 м; m_б = ± 0,01 м.

Подставив числовые данные в равенство средних квадратических погрешностей, получим

²= 0,3 м².

Тогда

S = 200 м² ± 0,3 м² или 1/N = m/S = 1/667.

Задача 11. Решить пример 10 при условии взятия отсчетов по средней нити и одной из крайних со средней квадратической погрешностью

m_d = ± 0,28 м.

Какой вывод можно сделать из полученных результатов примера 10 и задачи 11?

Задача 12. При компарировании нивелирной рейки метровой отрезок ее был измерен Женевской линейкой 6 раз и получены следующие результаты: 1000,0; 999,9; 999,7; 999,6; 999,8 и 1000,2.

Определить вероятнейшее значение метрового отрезка рейки и его среднюю квадратическую погрешность

х_о = 999,9 мм ± 0,09 мм.

Задача 13. Найти среднюю квадратическую и относительную погрешности вероятнейшего значения длины линии, измеренной пять раз мерной лентой: 124,36 м; 124,30; 124,38; 124,33; 124,28 м.

х_о = 124,33 м ± 0,017 м; 1/N = 1/7300.

Задача 14. Сторона теодолитного хода была измерена 20-метровой стальной мерной лентой.

Найти длину линии, ее среднюю квадратическую и относительную погрешности измерения, если число отложений ленты равно n = 7 и средняя квадратическая погрешность одного отложения была равна

m_о = ± 1 см.

L = 140 м ± 0,026 м и 1/N = 1/5400.

Задача 15. Найти среднюю квадратическую погрешность произведения P = 1¢ ^. 1¢¢, если 1¢ = 50,10 м ± 0,02 м, 1¢¢ = 250,07 м ± 0,05 м.

m_о = ± 5,5 м².

Задача 16. Найти объем и среднюю квадратическую погрешность цилиндра, если его высота h = 5 м и радиус R = 10 м были измерены рулеткой с относительной погрешностью 1/2000.

V = 1570 м³ ± 1,76 м³ и 1/890.

Задача 17. При прокладке полигонометрического хода 9 сторон его были измерены с относительной погрешностью 1/10000.

Найти среднюю квадратическую погрешность продольного смещения последней точки хода под влиянием погрешностей измерения расстояний, если результаты измерений были следующими:

1₁ = 200 м; 1₂ = 156; 1₃ = 191; 1₄ = 211; 1₅ = 188; 1₆ = 207; 1₇ = 164; 1₈ =182; 1₉ = 197.

m_о = ± 0,057 м.

Задача 18. При определении коэффициента К нитяного дальномера теодолита был разбит базис, длина которого составила D = 250,00 м, а средняя квадратическая погрешность его измерения равна m_d = ± 0,052 м.

Из многократных измерений его был получен средний дальномерный отсчет 1_ср = 249,0 см со средней квадратической погрешностью m₁ = ± 0,30 см.

Определить коэффициент дальномера и его среднюю квадратическую погрешность m_к, если постоянное слагаемое дальномера (с) равно 0 (пример 10).

m_к = ± 0,12; К = 100,4 ± 0,12.

Задача 19. Увеличение зрительной трубы определяется по формуле

Г = f_об/f_ок.

Найти увеличение зрительной трубы и среднюю квадратическую погрешность ее определения, если фокусное расстояние объектива f_об = 40,0 см определенно с точностью m_об = ± 2 мм, а фокусное расстояние окуляра f_ок = 1,5 см определено с погрешностью m_ок = 0,1 мм.

Г = 26,67 .