Угловые измерения

Пример 1. При измерении углов в четырех треугольниках тоннельной триангуляции были получены следующие угловые невязки:

f_b1 = 3¢¢, f_b2 = 1¢¢, f_b3 = 0¢¢, f_b4 = 2¢¢.

Определить среднюю квадратическую погрешность суммы углов (угловой невязки f_b) одного треугольника.

Угловые невязки в треугольниках можно рассматривать как истинные погрешности, так как теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180 градусов

D = I – Х = D DD

fb1 = [b]1 - 180 = - 3¢¢ 9 fβ2 = [b]2 - 180 = +1¢¢ 1 fb3 = [β]3 - 180 = 0¢¢ 0 fb4 = [β]4 - 180 = +2¢¢ 4

[D D] = 14 mfβ = = ± 1,9//.

f_b =b₁ +b₂ + b₃ – 180

В данном примере ответ получен только на один вопрос, но здесь возможен и второй: определить среднюю квадратическую погрешность измерения углов в тоннельной триангуляции.

В этом случае следует рассматривать функцию вида

Z= x₁ x₂ … x_n.

Для этой функции средняя квадратическая погрешность ее будет равна

m²_fb = m²_b1 + m²_b2 + m²_b3

или при равноточных измерениях

m²_fb = 3 ^. m²_b.

Отсюда

.

Используя формулу Ферреро (40), можно было получить это значение и непосредственно по невязкам

,

где n – число треугольников.

Пример 2. Определить среднюю квадратическую погрешность дирекционного угла 9-й линии теодолитного хода, если средняя квадратическая погрешность измерения правых по ходу углов равна m_b = 0,7¢, а исходный дирекционный угол a можно считать безошибочным.

Сначала запишем известную зависимость

a_n = a₁ + 180 ^. n - b₁ - b₂ -... - b_n,

где n - число углов.

Тогда a₉ = 180 ^. 8 - b₁ - b₂ - b₃ -... - b₈.

Для функции данного вида средняя квадратическая погрешность будет равна m²_a9 = m²_b1 + m²_b2 + m²_b3 +... + m²_b8

или при равноточных измерениях углов можно записать

.

В данном примере речь идет о так называемом висячем ходе. Если же была выполнена привязка к опорной сети и конца хода, то есть будет известен дирекционный угол и последней линии (9-й), то максимальная погрешность будет находиться в середине хода.

Тогда

.

Пример 3. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения угла теодолитом полным приемом с учетом точности взятия отсчетов по микроскопу теодолита и визирования.

Сначала выразим функциями вычисления углов полным приемом и в полуприемах

,

где b₁ и b₂ – углы, полученные в первом и втором полуприемах,

b = N_о2 + N_в2 - N_о1 – N_в1,

где N_о и N_в – некоторые величины отсчетов и визирования, которых будет в каждом полуприеме по два – два отсчета и два наведения на цель.

Полученные выражения имеют вид знакомых нам функций. Следовательно, переходя к средним квадратическим погрешностям, можно записать

m²_bср = 0,25 ^. m²_b1 + 0,25 ^. m²_b2,

m²_b = m²₀ + m²_В + m²₀ + m²_В

или при равноточных измерениях

m_bср = m_b/Ö2 и .

Подставив второе выражение в первое, получим среднюю квадратическую ошибку измерения угла теодолитом полным приемом с учетом погрешностей взятия отсчетов и наведения зрительной трубы

m_bср = ± Ö m²₀ + m²_в.

Пример 4. Углы поворота трассы измерены гониометром дважды. Результаты измерений приведены в табл. 7, гр. 2, 3.

Определить вероятнейшие значения измеренных углов и их среднюю квадратическую погрешность.

Таблица 7

№	qi	q/i	qiср	d	dd
	150 15/	150 20/	150 17,5/	- 5/
	30 40	30 35	30 37,5	+ 5
	21 55	22 00	21 57,5	- 5
	27 15	27 15	27 15,0
	43 20	43 25	43 22,5	- 5
	5 10	5 00	5 05,0	+ 10
	29 30	29 35	29 32,5	- 5
	22 40	22 35	22 37,5	+ 5
	7 00	7 15	7 07,5	- 15
	33 25	33 20	33 22,5	+ 5
11	54 10	54 00	54 05,0   å =	+ 10

Итак, дан ряд двойных измерений. Вероятнейшее значение углов поворота трассы будет равно среднему арифметическому из результатов двух измерений одного и того же угла, гр. 4.

Вычитая из одного результата, гр. 2, другой гр. 3, получаем разность, которую записываем в гр. 5.

Суммируя результаты гр. 5, убеждаемся, что систематических погрешностей в разностях двойных измерений нет [d] = 0.

После этого вычисляем среднюю квадратическую погрешность каждого измерения, .

Так как вероятнейшее значение при двойных измерениях вычисляется из результатов двух измерений, то средняя квадратическая погрешность арифметической средины будет равна

М = m₁/Ö2 = ± 4,9/Ö2 = ± 3,5¢.

Здесь уместно дать сравнительный анализ качественной стороны критериев, применяемых в научной среде для оценки точности геодезических измерений. Для этого рассмотрим пример, на котором можно будет найти погрешности, используемые в качестве критерия оценки точности данного ряда измерений, и произведём их сравнение.

Пример 5. Дан ряд истинных погрешностей, расположенных в порядке возрастания их абсолютных величин, табл. 8.

Определить среднюю квадратическую погрешность, среднюю, вероятную и предельную погрешности этого ряда.

№	∆	∆∆
	+ 0,02 - 0,03 - 0,05 + 0,10 + 0,12 - 0,15 - 0,17 + 0,17 - 0,22 +0,25	0,0004 0,0009 0,0025 0,0100 0,0144 0,0225 0,0289 0,0289 0,0484 0,0625
Σ =	1,28	0,2194

Таблица 8

Сначала возведем в квадрат значения всех погрешностей. Затем суммируем величины квадратов и значения самих погрешностей по абсолютной величине. Средняя квадратическая погрешность данного ряда измерений вычисляется по формуле Гаусса m = ± = ± 0,15. Cредняя квадратическая погрешность более строго оценивает результаты измерений, чем средняя и вероятная, их соотношения соответствуют тем данным, которые приведены в разд. 4.1. Результаты сравнений приведены ниже.

Средняя погрешность будет равна Вероятная погрешность

θ = 1,28/10 = ± 0,13; r = 0,8333 x 0,12 = ± 0,10;

θ = 0,7979 x 0,15 = ± 0,12. r = 0,6745 x 0,15 = ± 0,10.

Предельная погрешность: ∆_пр = 3 х 0,15 = ± 0,45.

Задача 1. При измерении углов теодолитом 2Т30 точность отсчитывания по микроскопу равна m_o = ± 0,5¢. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения горизонтального угла полным приемом. Сколько приемов нужно сделать, чтобы погрешность угла не превышала ± 0,2¢?

Средняя квадратическая погрешность угла, измеренного полным приемом, равна 0,5^/, число приемов 8.

Задача 2. Угол наклона измерен теодолитом 2Т30 с точностью отсчитывания по микроскопу m_o = ± 0,5¢. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения угла полным приемом и при одном круге.

Искомая величина будет равна: полным приемом 0,5 / = ± 0,3¢,

при одном круге 0,5 / = ± 0,4¢.

Задача 3. При определении направления истинного меридиана на одном из концов трассы дороги были получены следующие значения истинных азимутов по наблюдениям соответствующих высот Солнца:

218⁰22,6¢; 218⁰ 22,4^/; 218⁰ 21,5^/; 218⁰ 22,8^/; 218⁰ 21,1^/; 218⁰ 21,6^/.

Определить вероятнейшее значение истинного азимута и его среднюю квадратическую погрешность.

Искомая величина будет равна

А = 218⁰22,0¢ ± 0,3¢.

Задача 4. При исследовании теодолита 30¢¢ точности было измерено им 5 углов полным приемом: 89⁰14,5¢ и 89⁰ 14,0^/; 72⁰ 16,0^/ и 72⁰ 16,5^/; 104⁰ 14,5^/ и 104⁰ 14,0^/; 53⁰ 10,5^/ и 53⁰ 10,0^/; 68⁰ 13,0^/ и 68⁰ 13,5^/. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения угла полным приемом.

Ответ: m_b = ± 0,4¢ и М_bcр = ± 0,3¢.

Задача 5. Вычислить предельную погрешность в сумме углов теодолитного хода, имеющего 12 углов поворота, если средняя квадратическая погрешность измерения одного угла m_b = ± 0,5¢.

Ответ: D_пр = ± 5,4¢.

Задача 6. В треугольнике два угла измерены со средней квадратической погрешностью m_b = ± 0,5¢. Найти среднюю квадратическую погрешность третьего угла, вычисленного по двум измеренным.

Ответ: m = ± 0,7¢.

Задача 7. Средняя квадратическая погрешность суммы углов в мостовой триангуляции равна ± 3,5¢¢. Какова средняя квадратическая погрешность измерения одного угла?

Ответ: m_b = ± 2¢¢.

Задача 8. Найти среднюю квадратическую погрешность суммы углов в девятиугольнике, если средняя квадратическая погрешность измерения одного направления равна 5¢¢ и каждый угол был получен, как разность двух направлений.

Ответ: m_fb = ± 21¢¢.

Задача 9. Горизонтальный угол был измерен способом повторений теодолитом 30-секундной точности. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения угла шестью повторениями.

Ответ: m_b = ± 0,1¢.

Задача 10. Проектный угол отложен полным приемом теодолитом 30-секундной точности. Найти среднюю квадратическую погрешность построения проектного угла, если погрешностью фиксации точки пренебречь.

Ответ: m_bp = ± 0,5¢.