Нивелирование

Пример 12. Определить среднюю квадратическую погрешность геометрического нивелирования на каждой станции при использовании двухсторонних реек, если точность отсчитывания по ним

m_о = ± 1,5 мм.

Напишем математическую зависимость между определяемой и измеренными величинами

Z = h_ср = 0,5 ^. (h_ч + h_к) = 0,5 ^. h_ч + 0,5 ^. h_к,

где h_ч и h_к – соответственно превышения, вычисленные по отсчетам, взятым по черной и красной сторонам реек,

h_ч = N⁵_ч – N^п_ч и h_к = N³_к – N^п_к,

где N_ч и N_к – соответственно отсчеты по черной и красной сторонам реек.

Данные выражения имеют вид известных нам функций (41) и (34), для которых можно записать зависимости между средними квадратическими погрешностями

m²_z = m²_hср = 0,25 ^. m²_ч + 0,25 ^. m²_к

и при одинаковой точности нивелирования на станции

m²_ч = m²_к = m²_о + m²_о =2 ^. m²_о.

Подставляя второе в первое, получим

m²_hср = 2 ^. 0,25 ^. m²_о + 2 ^. 0,25 ^. m²_о или m_hср = m_о = ± 1,5 мм.

Отсюда следует, что точность определения превышений при нивелировании с использованием двухсторонних реек соответствует точности взятия отсчёта по рейке, а при нивелировании с использованием только одной стороны её точность определения превышений снижается в раза.

Пример 13. Найти предельную длину нивелирного хода, если средняя квадратическая погрешность определения превышений на станции равна m_h = ± 2 мм, а невязка в сумме превышений хода не должна превышать fh = ± 10 мм.

В соответствии с функцией (36) можно записать следующие выражения: åh = h₁ + h₂ + h₃ +...+ h_n и

m²_fh = m²_h1 + m²_h2 + m²_h3 +...+ m²_hn

или при равноточном нивелировании на каждой станции

m²_fh = m²_h. n,

где n – число станций.

Отсюда

n = m²_fh/m²_h = 10²/2² = 25 станций.

Следует отметить, что, определяя предельную длину хода, необходимо учитывать расстояние от прибора до рейки, так как от точности отсчитывания по ней зависит точность нивелирования на станции (пример 12).

Пример 14. Отметка точки А была определена в результате геометрического нивелирования (Hо = 125,761 м) и многократно барометрическим нивелированием (Н₁). Результаты барометрического нивелирования приведены в табл. 13, гр. 2.

Найти среднюю квадратическую погрешность барометрического нивелирования.

Таблица 13

Так как геометрическое нивелирование несоизмеримо точнее барометрического, то величина НО по отношению ко всем остальным результатам (Нl) может считаться истинным значением. В этом случае оценку точности барометрического нивелирования можно произвести по формуле Гаусса (20).

№	l	D	D2
	125,3 125,7 127,6 124,8 126,0 126,3	-0,5 -0,1 +1,8 -1,0 +0,2 +0,5	0,25 0,01 3,24 1,00 0,04 0,25
		∑ =	4,79

Для этого из результатов гр. 2 нужно вычесть истинное значение и получить истинные погрешности (гр. 3), затем возвести их в квадрат и суммировать.

Тогда

.

Пример 15. При прокладке высотного хода в качестве съемочного обоснования превышения между точками его были получены дважды – в прямом и обратном направлениях. Результаты нивелирования приведены в табл. 14, гр. 2, 3.

Найти вероятнейшее значение превышений и их среднюю квадратическую погрешность. В данном случае имеем результаты ряда двойных измерений. Сначала найдем разность парных измерений по абсолютной величине и результаты запишем в гр. 5. Для выяснения наличия систематической погрешности суммируем разности ([d] = 0).

Таблица 14

№	hпр	hоб	hср	d	d2
	+3103 + 945 -1015 +527 -2216 +1255	-3100 - 949 +1019 - 525 +2212 -1256	+3102 + 947 -1017 + 526 - 2214 +1256	+3 -4 -4 +2 +4 -1
∑ = 0 62

Затем, убедившись в отсутствии систематической погрешности, возведем в квадрат и суммируем их, гр. 6.

Для нахождения вероятнейшего значения искомых величин вычислим для всех результатов арифметическую средину из всех парных измерений

х_о = h_ср = 0,5{ïh_прï+ïh_обï}.

Знак арифметической средины будет соответствовать знаку прямого результата.

Для оценки же точности нивелирования воспользуемся формулой средней квадратической погрешности арифметической средины

и

или

и .

Пример 16. При исследовании кипрегеля-автомата одно и то же превышение было многократно определено с помощью его номограммы. Результаты определений приведены в табл. 15, гр. 2.

Таблица 15

Определить вероятнейшее значение превышения между данными точками и среднюю квадратическую погрешность нивелирования кипрегелем-автоматом. Вероятнейшее значение (арифметическая средина) будет равно хо = hср = åh/n = 0,55м. Оценку точности необходимо произвести при отсутствии истинного значения измеренной величины, поэтому воспользуемся формулой Бесселя (20).

№ h хо = h δ δδ   1 2 3 4 5   1 + 0,52 + 0,55 - 3 9 2 + 0,51 + 0,55 - 4 16 3 + 0,60 + 0,55 + 5 25 4 + 0,50 + 0,55 - 5 25 5 + 0,55 + 0,55 0 0 6 + 0,57 + 0,55 + 2 4 7 + 0,58 + 0,55 + 3 9   å = - 2 88

Для этого из результатов всех измерений вычтем вероятнейшее значение превышения и разности возведем в квадрат, гр. 4, 5.

Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна

.

Отсюда найдем среднюю квадратическую погрешность арифметической средины

М = ± m_h/ = ± 3,8/ = ± 1,4 см.

В итоге имеем с округлением до 0,01 м

h_ср = + 0,55 м ± 0,01 м.

Пример 17. Определить среднюю квадратическую погрешность тригонометрического нивелирования кипрегелем-автоматом, если точность взятия отсчета по рейке с помощью кривой номограммы равна ± 1,5 мм, а погрешностью совмещения исходной кривой с целым делением рейки пренебречь.

Как известно, тригонометрическое нивелирование основано на решении зависимости

h = h¢ + i –1,

где i и 1 – есть величины постоянные и их погрешностями можно пренебречь при оценке точности нивелирования, h¢ = К ^. n¢ - величина, определяемая с помощью кривых номограммы.

Следовательно, для оценки точности нивелирования имеем известную функцию произведения постоянного числа на аргумент

h¢ = К ^. n¢,

где К – коэффициент, подписанный кривой номограммы, n¢ - отсчет по рейке, взятый при помощи этой кривой.

Для вышеприведенной функции имеем

m_h =K ^. m_n.

Подставив сюда среднюю квадратическую погрешность отсчета, получим

m_h = ± K ^. 1,5 мм.

Отсюда следует, что средняя квадратическая погрешность нивелирования будет зависеть от коэффициента, используемого в данный момент. Допустим, что использовались две кривые с коэффициентами 10 и 20. Тогда при коэффициенте 10 погрешность нивелирования будет равна ± 0,015 м, а при коэффициенте 20 погрешность нивелирования будет вдвое больше, то есть ± 0,030 м.

Задача 20. Определить расстояние от нивелира до рейки, допуская ошибку отсчета по рейке не более 2 мм и принимая неизбежную ошибку визирования, а также ошибку вследствие неточной установки пузырька уровня на середину, равной ± 3² каждую.

Совокупное влияние обеих погрешностей будет:

m = ± = ± = ± 4,2².

При этом условии найдем такое расстояние от нивелира до рейки, при котором погрешность была бы не больше 2 мм

S = Dh/tg m = .

Задача 21. Определить предельную погрешность в сумме превышений нивелирного хода из n станций, если точность отсчета по нивелирной рейке равна ± 1 мм.

Ответ: D_пр = 3 ^. m = ± 3 ^. 1 мм.

Задача 22. При предварительных изысканиях дороги часть трассы, проходящей в горных условиях, была пронивелирована тригонометрическим способом по пикетам так, как это показано на рис. 6. Визирование производилось на высоту прибора при двух кругах со средней квадратической погрешностью при каждом круге ± 0,5¢.

Найти предельную погрешность, приходящуюся на 1 км такого нивелирования, если расстояния между пикетами измерены с относительными погрешностями 1/1000 и средняя величина углов наклона равна 10 градусам.

Рис. 6. Схема тригонометрического нивелирования трассы

Превышение между смежными пикетами будет равно:

h = d ^. tg ν = 100 м tg 10 = 17,63 м, m_h = ± 0,02 м.

Тогда

m_1км = m_h = 0,02 Ö10 = ± 0,06 м, D_пр = 3 ^. m = ± 0,18 м.

Примечание. К решению этой задачи целесообразно вернуться после решения примера 22.

Задача 23. Отметка строительного репера была получена путем привязки его к геодезической опорной сети. Для этого был проложен нивелирный ход из трех станций.

Определить среднюю квадратическую погрешность отметки строительного репера, если отметка репера опорной геодезической сети получена со средней квадратической погрешностью m_исх ± 1,5 мм и точность отсчитывания по рейке в процессе нивелирования равна ± 1,0 мм.

Ответ: m_hст = ±1 = 1,4 мм, m_hхода= ±1,4 = 2,4 мм,

m_н = ± = ± 2,8 мм.