Компактные топологические пространства

Пусть - хаусдорфовое топологическое пространство. Множество называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Если при этом , то называется компактным топологическим пространством. В силу известной леммы Бореля-Лебега любой отрезок на числовой прямой является компактным множеством. Приведем простейшие свойства компактных множеств.

Лемма 9.1. Пусть - хаусдорфовое топологическое пространство. Следующие утверждения верны:

1) всякое компактное множество является замкнутым в ;

2) всякое замкнутое подмножество компактного множества компактно;

3) объединение конечного семейства компактных множеств компактно;

4) если компактное множество в , а и - непересекающиеся замкнутые подмножества в , то существуют такие непересекающиеся открытые в множества и , что и .

Доказательство. 1) Пусть - компактное множество в . Можно считать, что . Пусть . По хаусдорфовости для каждой точки найдутся такие открытые окрестности и , точек и , соответственно, что . Семейство осуществляет открытое покрытие компактного множества , поэтому найдутся такие точки , что . Пусть . Тогда - это открытая окрестность точки и . Действительно, если , то , поэтому для некоторого номера , где . Таким образом, , что и доказывает замкнутость множества .

2) Пусть - компактное множество и его замкнутое подмножество. Так как множество замкнуто в , то и будет замкнутым в . Пусть - открытое покрытие множества . Тогда будет открытым покрытием множества , поэтому существуют такие индексы , что . Отсюда следует, что , а это и доказывает компактность множества .

3) По индукции достаточно доказать, что объединение двух компактных множеств и является компактным множеством. Пусть - открытое покрытие множества . Так как будет открытым покрытием как множества , так и , то существуют такие конечные наборы индексов и , что и . Тогда , что и доказывает компактность множества .

4) По второму свойству множества и являются компактными. Пусть . Тогда , поэтому, как было установлено при доказательстве первого свойства, найдется такая открытая окрестность точки и открытое множество , что . Семейство представляет собой открытое покрытие множества , поэтому существуют такие точки , что . Пусть и . Тогда и - это такие открытые множества в , что , и . #

Из последнего утверждения леммы 9.1 вытекает

Следствие. Любое компактное множество в хаусдорфовом топологическом пространстве является регулярным топологическим пространством в индуцированной топологии.

Семейство множеств в топологическом пространстве называется центрированным, если любое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Точку будем называть предельной точкой направленности , если для любой окрестности точки и любого индекса найдется такой индекс , что и . Очевидно, предельные точки направленности являются точками прикосновения множества , т.е. принадлежат множеству . Имеет место следующий важный критерий компактности хаусдорфовых топологических пространств:

Теорема 9.1. Пусть - хаусдорфовое топологическое пространство. Следующие утверждения эквивалентны:

1) пространство компактно;

2) каждая центрированная система замкнутых множеств в имеет непустое пересечение;

3) всякое семейство замкнутых множеств в , пересечение которого пусто, содержит конечное подсемейство с пустым пересечением;

4) любая направленность в имеет предельную точку.

Доказательство. . Пусть - центрированная система замкнутых множеств в . Для каждого положим . Тогда - это семейство открытых множеств в . Если бы это семейство покрывало , то по компактности нашлось бы такое конечное подсемейство , что . Тогда бы имели

,

так что система не являлась бы центрированной. Следовательно, система не покрывает . Это означает, что существует точка

,

так что любая центрированная система замкнутых множеств в имеет непустое пересечение.

. Пусть - семейство замкнутых множеств в с пустым пересечением. По предположению это семейство не может быть центрированным, поэтому оно обладает конечным подсемейством, пересечение которого пусто.

. Пусть - открытое покрытие пространства . Для каждого положим . Тогда - это семейство замкнутых множеств в , причем

,

поэтому по предположению найдутся такие индексы , что . Тогда

,

так что покрытие имеет конечное подпокрытие, а, значит, пространство компактно.

. Пусть - некоторая направленность в . Для каждого положим . Пусть . По направленности вверх множества индексов найдется такой элемент , что для любого . Тогда для всех , так что . Это доказывает, что семейство является центрированным. Тем более центрированным будет семейство . Следовательно, по предположению существует точка . Осталось доказать, что является предельной точкой направленности . Действительно, пусть - некоторая окрестность точки и . Так как , то существует точка . По определению множества тогда получаем, что для некоторого индекса такого, что .

. Пусть - произвольное центрированное семейство замкнутых подмножеств пространства и - пересечения всевозможных конечных наборов множеств из семейства . Тогда , поэтому достаточно лишь доказать, что . Для этого упорядочим множество по антивключению: для множеств положим тогда и только тогда, когда . Так как пересечение любых двух элементов из множества является элементом этого же множества, то будет упорядоченным и направленным вверх множеством. Зададим теперь направленность , выбрав из каждого множества по некоторой точке . По предположению эта направленность имеет предельную точку . Покажем, что для любого . Действительно, пусть - некоторая окрестность точки и . По определению предельной точки найдется такой индекс , что и . Так как , то . Следовательно, . #

Далее изучим свойства компактных множеств при непрерывных отображениях.

Лемма 9.2. Пусть , - хаусдорфовые топологические пространства, и - отображение, непрерывное на компактном множестве . Тогда множество компактно в .

Доказательство. Рассмотрим открытое покрытие множества . Тогда и . Так как множества открыты, то по компактности множества найдутся такие индексы , что . Тогда

. #

Следующий результат известен как теорема Вейерштрасса.

Теорема 9.2. Пусть - хаусдорфовое топологическое пространство, и - функция, непрерывная на компактном множестве . Тогда ограничена на множестве и достигает на нем свое наибольшее и наименьшее значения.

Доказательство. По лемме 9.2 множество компактно на числовой прямой, поэтому оно замкнуто и ограничено в . Пусть . По критерию нижней грани число является точкой прикосновения для множества , поэтому . Следовательно, для некоторой точки , т.е. нижняя грань достигается на множестве . Аналогично доказывается, что и верхняя грань достигается на . #

В заключение данного параграфа докажем теорему Тихонова о компактности произведения семейства топологических пространств.

Теорема 9.3. Пусть - семейство топологических пространств. Для того чтобы произведение было компактным, необходимо и достаточно, чтобы каждое пространство-сомножитель было компактным.

Доказательство. Необходимость. Пусть пространство компактно и . Так как отображение непрерывно и , то по теореме 7.3 и лемме 9.2 пространство компактно.

Достаточность. Пусть все пространства-сомножители - компактны. По теореме 7.3 пространство является хаусдорфовым. Пусть - центрированное семейство замкнутых множеств в . Обозначим через - класс всех центрированных семейств множеств в . Упорядочим по включению: для центрированных семейств и положим в том и только том случае, когда . Ясно, что - это упорядоченное множество, а элемент является тривиальной цепью в . По лемме Куратовского цепь содержится в некоторой максимальной цепи . Пусть . Докажем, что , т.е. что - это центрированное семейство подмножеств .

Действительно, пусть , где . Тогда найдутся такие центрированные семейства , что для любого . Так как - цепь, то среди элементов существует наибольший. Пусть для всех и некоторого . Тогда для каждого , поэтому . Это доказывает, что .

Далее, из максимальности цепи следуют три свойства центрированного семейства :

1) любое множество, содержащее некоторое множество из семейства , принадлежит ;

2) пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит ;

3) если некоторое множество пересекается с каждым множеством из , то оно принадлежит .

Проверим все три свойства. 1) Пусть , где . Добавив к семейству множество , получим семейство . Пусть , где . Если ни для какого , то , так как - центрированное семейство. Пусть теперь для некоторого . Тогда . Следовательно, семейство является центрированным, так что . Если теперь предположить, что , то цепь будет строго больше цепи , что противоречит максимальности последней. Следовательно, .

2) Пусть , где , и . Ясно, что . Дополнив множеством , получим семейство , которое, как легко проверить, является центрированным. Если , то цепь не будет максимальной. Следовательно, .

3) Рассмотрим такое множество в , что для любого . Дополнив семейство множеством , получим семейство , которое является центрированным. Действительно, если , где , то , если ни при каких , и , где для некоторого , и по уже доказанному свойству 2). Если теперь , то, проводя те же рассуждения, что и выше, получим противоречие с максимальностью цепи . Следовательно, .

Зафиксируем теперь некоторый индекс и рассмотрим семейство . Пусть , где . Так как , то семейство будет центрированным. Таковым же будет и семейство , поэтому по теореме 9.1 . Выберем теперь для каждого по некоторой точке и положим . Пусть - некоторая окрестность точки в пространстве . По определению тихоновской топологии для некоторых индексов и окрестностей точек в пространствах , где . Поскольку для каждого , то , а значит и для всех и . Применяя теперь последовательно свойства 3) и 2), получаем, что . Отсюда по свойству 1) , а из центрированности семейства теперь получаем, что для любого . Следовательно, для каждого , так что . Но , поэтому . Следовательно, , что по теореме 9.1 и доказывает компактность пространства . #