Регулярные топологические пространства

В данном параграфе мы изучим некоторые свойства топологических пространств с третьей аксиомой отделимости: топологическое пространство называется пространством, если для каждого замкнутого множества в и каждой точки существует окрестность множества и окрестность точки такие, что . Справедлива следующая

Теорема 8.1. Топологическое пространство является пространством тогда и только тогда, когда множество всех замкнутых окрестностей любой точки образует базис окрестностей .

Доказательство. Пусть является пространством, и - открытая окрестность точки . Так как множество является замкнутым и , то по предположению существует такая открытая окрестность множества и окрестность точки , что . Тогда и , поэтому . Следовательно, замкнутые окрестности точки образуют базис ее окрестностей.

Обратно, пусть семейство всех замкнутых окрестностей каждой точки образует базис и - такое замкнутое множество, что . Тогда - это открытая окрестность точки , поэтому найдется такая ее замкнутая окрестность , что . Следовательно, . Таким образом, и будут искомыми окрестностями точки и множества соответственно. #

Уже во множестве из трех элементов нетрудно построить такую топологию, которая удовлетворяет третьей аксиоме отделимости, но не является достижимой, а, следовательно, и хаусдорфовой. Это приводит к необходимости введения следующего класса топологических пространств: достижимое пространство называется регулярным топологическим пространством. Поскольку в достижимых топологических пространствах одноточечные множества замкнуты, то регулярные пространства являются хаусдорфовыми. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Это видно из следующего примера.

Пример 8.1. Рассмотрим на действительной прямой семейства множеств

и

.

Нетрудно убедиться в том, что семейства удовлетворяют условиям следствия теоремы 1.3, поэтому в существует, и притом единственная, топология , для которой является базисом открытых окрестностей каждой точки . Если , то для . Отсюда следует, что топология является хаусдорфовой. Далее, множество является открытым, поэтому множество замкнуто. Пусть - некоторая окрестность множества и пусть . Возьмем номер так, чтобы . Так как является окрестностью точки в , то существует такое , что . Тогда

,

а поэтому и . Следовательно, каждая окрестность нуля имеет непустое пересечение с каждой окрестностью замкнутого множества , причем . Это доказывает, что не удовлетворяет третьей аксиоме отделимости. #

Лемма 8.1. Любое подпространство пространства является пространством.

Доказательство. Рассмотрим некоторое подпространство в пространстве . Пусть - замкнутое подмножество и . По определению индуцированной топологии для некоторого замкнутого множества в . Так как , то по условию найдется такая окрестность множества в и окрестность точки в , что . Тогда и будут теми окрестностями множества и точки в , для которых выполняется: . #

Следствие. Любое подпространство регулярного топологического пространства – регулярно.

В предыдущем параграфе отмечалось, что свойство хаусдорфовости отвечает за единственность продолжения по непрерывности отображений, заданных на всюду плотных множествах. А вот существование таких продолжений опирается на свойство регулярности.

Теорема 8.2. Пусть - всюду плотное множество в топологическом пространстве и - некоторое отображение в регулярное топологическое пространство . Для того чтобы существовало непрерывное отображение , продолжающее отображение , необходимо и достаточно, чтобы для любого направленность имела некоторый предел в , не зависящий от выбора направленности , . Непрерывное продолжение отображения на тогда единственно.

Доказательство. Единственность отображения вытекает из принципа продолжения тождеств (см. следствие 2 теоремы 7.1).

Необходимость. Пусть отображение непрерывно на , , , и . Тогда по теореме 4.1 .

Достаточность. Пусть . По теореме 2.2 найдется такая направленность , что . Положим . Так как по условию теоремы такой элемент не зависит от выбора направленности , , то отображение определено корректно и является продолжением отображения . Следовательно, осталось доказать лишь непрерывность отображения в каждой точке . Пусть - замкнутая окрестность точки . Можно утверждать существование такой открытой окрестности точки в , что . Действительно, в противном случае для каждой открытой окрестности точки в найдется такая точка , что . Так как множество открытых окрестностей точки образует базис фильтра окрестностей этой точки, то, упорядочив множество по антивключению, получим направленность , , для которой не является пределом направленности . Это противоречит заданию отображения . Пусть теперь и направленность такова, что . Так как - это окрестность точки , то по определению предела найдется такой индекс , что для всех . Положим и рассмотрим направленность . Так как и , то для всех и в силу замкнутости множества . Итак, , и для завершения доказательства непрерывности отображения осталось лишь заметить, что по теореме 8.1 замкнутые окрестности точки образуют базис ее окрестностей. #

В пространствах с первой аксиомой счетности теорему 3.2 можно значительно усилить. Следующий результат можно доказать аналогично теореме 8.2:

Теорема 8.3. Пусть - всюду плотное множество в топологическом пространстве с первой аксиомой счетности и - некоторое отображение в регулярное топологическое пространство . Для того чтобы существовало непрерывное отображение , продолжающее отображение , необходимо и достаточно, чтобы для любого последовательность имела некоторый предел в , не зависящий от выбора последовательности , сходящейся к . Непрерывное продолжение отображения на тогда единственно.